Номер 156, страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 156, страница 298.

Условие.

156. a) $\frac{6}{\operatorname{ctg} x + 2} = 3 - \operatorname{ctg} x;$

б) $1 + 2 \cos 3x \cos x - \cos 2x = 0;$

в) $\frac{15}{\sin x + 1} = 11 - 2 \sin x;$

г) $\operatorname{ctg} x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) $\frac{6}{\text{ctg } x + 2} = 3 - \text{ctg } x$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $\text{ctg } x + 2 \neq 0$, откуда $\text{ctg } x \neq -2$. Также функция котангенса не определена, когда $\sin x = 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Для упрощения решения введем замену: пусть $t = \text{ctg } x$. Уравнение примет вид:
$\frac{6}{t + 2} = 3 - t$

3. Умножим обе части уравнения на $(t+2)$, учитывая, что $t \neq -2$:
$6 = (3 - t)(t + 2)$
$6 = 3t + 6 - t^2 - 2t$
$6 = -t^2 + t + 6$
$t^2 - t = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение:
$t(t - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $t \neq -2$.

5. Вернемся к исходной переменной:
При $t_1 = 0$:
$\text{ctg } x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

При $t_2 = 1$:
$\text{ctg } x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $1 + 2 \cos 3x \cos x - \cos 2x = 0$

1. Используем формулу произведения косинусов: $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$.
В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$, поэтому:
$2 \cos 3x \cos x = \cos(3x + x) + \cos(3x - x) = \cos 4x + \cos 2x$

2. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$1 + (\cos 4x + \cos 2x) - \cos 2x = 0$
$1 + \cos 4x = 0$

3. Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение:
$\cos 4x = -1$
Это частный случай, решение которого имеет вид:
$4x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

4. Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\frac{15}{\sin x + 1} = 11 - 2 \sin x$

1. ОДЗ: $\sin x + 1 \neq 0 \implies \sin x \neq -1$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Сделаем замену: пусть $t = \sin x$. Уравнение примет вид:
$\frac{15}{t + 1} = 11 - 2t$
Учитываем, что $-1 \le t \le 1$ и $t \neq -1$.

3. Умножим обе части на $(t+1)$:
$15 = (11 - 2t)(t + 1)$
$15 = 11t + 11 - 2t^2 - 2t$
$15 = -2t^2 + 9t + 11$
$2t^2 - 9t + 4 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$t = \frac{9 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}$
$t_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$t_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

5. Вернемся к переменной $x$:
Для $t_1 = 4$: $\sin x = 4$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.
Для $t_2 = \frac{1}{2}$: $\sin x = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условиям $-1 < \sin x \le 1$.
Решения этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\text{ctg } x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2$

1. ОДЗ:
Из-за $\text{ctg } x$: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Из-за знаменателя дроби: $1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1 \implies x \neq \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Объединяя условия, получаем $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Преобразуем левую часть уравнения. Заменим $\text{ctg } x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:
$\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2$

3. Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x (1 + \cos x)$:
$\frac{\cos x(1 + \cos x) + \sin x \cdot \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$
$\frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$

4. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\frac{\cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$

5. Согласно ОДЗ, $1 + \cos x \neq 0$, поэтому можно сократить дробь на $(1 + \cos x)$:
$\frac{1}{\sin x} = 2$

6. Отсюда получаем:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как если $\sin x = \frac{1}{2}$, то $\sin x \neq 0$.
Решения: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.