Номер 151, страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 151, страница 297.

Условие.

151. а) $\sqrt{x^2 - 6x + 9} > 3;$

б) $\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{2x^2 + x + 1} \ge 0;$

в) $\sqrt{25 - 20x + 4x^2} \le 1;$

г) $\sqrt{2x - x^2} + 15 (3x - x^2 - 4) \le 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sqrt{x^2 - 6x + 9} > 3$

Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{(x-3)^2} > 3$.
Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Получаем:
$|x - 3| > 3$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) $x - 3 > 3 \implies x > 6$
2) $x - 3 < -3 \implies x < 0$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

б) $\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{2x^2 + x + 1} \ge 0$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби.
1. Числитель: $\sqrt{x^2 - 2x + 3}$.
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x^2 - 2x + 3} \ge 0$.
Найдем область определения корня. Выражение под корнем $x^2 - 2x + 3$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a = 1 > 0$), то трехчлен $x^2 - 2x + 3$ всегда положителен при любых значениях $x$.
Следовательно, числитель $\sqrt{x^2 - 2x + 3}$ определен и строго положителен для всех $x \in \mathbb{R}$.
2. Знаменатель: $2x^2 + x + 1$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a = 2 > 0$), то знаменатель $2x^2 + x + 1$ также всегда положителен при любых значениях $x$.

Таким образом, мы имеем дробь, в которой числитель всегда положителен, и знаменатель всегда положителен. Частное двух положительных чисел всегда положительно. Неравенство $\frac{\text{положительное число}}{\text{положительное число}} \ge 0$ выполняется для любых действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $\sqrt{25 - 20x + 4x^2} \le 1$

Преобразуем выражение под корнем. Заметим, что $25 - 20x + 4x^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{(2x - 5)^2} \le 1$.
Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$|2x - 5| \le 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 \le 2x - 5 \le 1$.
Прибавим 5 ко всем частям неравенства:
$-1 + 5 \le 2x \le 1 + 5$
$4 \le 2x \le 6$
Разделим все части неравенства на 2:
$2 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [2; 3]$.

г) $\sqrt{2x - x^2 + 15} \cdot (3x - x^2 - 4) \le 0$

Произведение двух множителей неположительно. Первый множитель $\sqrt{2x - x^2 + 15}$ по определению арифметического корня всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был неположителен, а также чтобы первый множитель был определен.
Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 2x - x^2 + 15 \ge 0 \quad \text{(область определения корня)} \\ 3x - x^2 - 4 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x - x^2 + 15 \ge 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x - 15 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 15 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-3; 5]$.

Решим второе неравенство: $3x - x^2 - 4 \le 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 3x + 4 \ge 0$.
Найдем дискриминант трехчлена $x^2 - 3x + 4$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1>0$, трехчлен $x^2 - 3x + 4$ положителен при всех действительных $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 \ge 0$ (и исходное $3x - x^2 - 4 \le 0$) выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств:
$x \in [-3; 5] \cap (-\infty; +\infty)$.
Пересечением является интервал $[-3; 5]$.

Ответ: $x \in [-3; 5]$.