Номер 146, страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 146, страница 297.

Условие.

Решите уравнения (146–149).

146. а) $\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1;$

б) $\sqrt{x^2 - 16} = x^2 - 22;$

в) $\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1;$

г) $\sqrt{x^2 + 9} = x^2 - 11.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1$.

Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$, которое равносильно системе, где правая часть должна быть неотрицательной, и квадрат левой части равен квадрату правой:

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x^2 + 2x + 10 = (2x - 1)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство, чтобы найти область допустимых значений для $x$:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Теперь решим второе уравнение, возведя обе части исходного уравнения в квадрат:

$x^2 + 2x + 10 = (2x - 1)^2$

$x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 10 = 0$

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3$

Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge \frac{1}{2}$.

Для $x_1 = 3$: $3 \ge \frac{1}{2}$ (верно).

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge \frac{1}{2}$ (неверно). Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3

б)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 16} = x^2 - 22$.

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$.

Из условия существования квадратного корня следует, что $x^2 - 16 \ge 0$, или $y - 16 \ge 0$, то есть $y \ge 16$.

Уравнение с новой переменной:

$\sqrt{y - 16} = y - 22$

Это уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y - 22 \ge 0 \\ y - 16 = (y - 22)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $y \ge 22$. Это условие является более строгим, чем $y \ge 16$.

Решим второе уравнение:

$y - 16 = y^2 - 44y + 484$

$y^2 - 45y + 500 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500 = 2025 - 2000 = 25 = 5^2$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 \pm 5}{2}$

$y_1 = \frac{45 + 5}{2} = 25$

$y_2 = \frac{45 - 5}{2} = 20$

Проверим найденные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 22$.

$y_1 = 25$ удовлетворяет условию ($25 \ge 22$).

$y_2 = 20$ не удовлетворяет условию ($20 < 22$), поэтому это посторонний корень.

Единственное подходящее значение $y = 25$. Выполним обратную замену:

$x^2 = 25$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Ответ: $\pm 5$

в)

Дано уравнение $\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 17 + 2x - 3x^2 = (x + 1)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем область допустимых значений: $x \ge -1$.

Решим второе уравнение:

$17 + 2x - 3x^2 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 3x^2 + 2x - 2x + 1 - 17$

$4x^2 - 16 = 0$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4$

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge -1$.

Для $x_1 = 2$: $2 \ge -1$ (верно).

Для $x_2 = -2$: $-2 \ge -1$ (неверно). Это посторонний корень.

Таким образом, решением уравнения является только $x=2$.

Ответ: 2

г)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 9} = x^2 - 11$.

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$\sqrt{y + 9} = y - 11$

Это уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y - 11 \ge 0 \\ y + 9 = (y - 11)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $y \ge 11$.

Решим второе уравнение:

$y + 9 = y^2 - 22y + 121$

$y^2 - 23y + 112 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 112 = 529 - 448 = 81 = 9^2$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm 9}{2}$

$y_1 = \frac{23 + 9}{2} = 16$

$y_2 = \frac{23 - 9}{2} = 7$

Проверим найденные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 11$.

$y_1 = 16$ удовлетворяет условию ($16 \ge 11$).

$y_2 = 7$ не удовлетворяет условию ($7 < 11$), поэтому это посторонний корень.

Единственное подходящее значение $y = 16$. Выполним обратную замену:

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Ответ: $\pm 4$