Номер 145, страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 145, страница 297.

Условие.

145. Докажите справедливость неравенства:

а) $m + \frac{4}{m} \ge 4$ при $m > 0;$

б) $\frac{2m}{1+m^2} \le 1;$

в) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ при $a > 0, b > 0;$

г) $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}$ при $a > 0, b > 0, c > 0, a < b.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Требуется доказать неравенство $m + \frac{4}{m} \ge 4$ при $m > 0$.
Поскольку по условию $m > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $m$, не меняя знака неравенства.
$m \cdot m + \frac{4}{m} \cdot m \ge 4 \cdot m$
$m^2 + 4 \ge 4m$
Перенесем все члены в левую часть:
$m^2 - 4m + 4 \ge 0$
Выражение в левой части является полным квадратом разности $(m - 2)$:
$(m - 2)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно при любом $m$. Так как все преобразования были равносильными (при $m > 0$), то и исходное неравенство верно.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Требуется доказать неравенство $\frac{2m}{1+m^2} \le 1$.
Знаменатель дроби $1+m^2$ всегда строго положителен, так как $m^2 \ge 0$ для любого действительного $m$, и, следовательно, $1+m^2 \ge 1$.
Умножим обе части неравенства на положительное выражение $1+m^2$:
$2m \le 1 \cdot (1 + m^2)$
$2m \le 1 + m^2$
Перенесем $2m$ в правую часть, чтобы собрать все члены с одной стороны:
$0 \le 1 - 2m + m^2$
Выражение в правой части является полным квадратом разности $(m - 1)$:
$0 \le (m - 1)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $m$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Требуется доказать неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ при $a > 0, b > 0$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ab$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$.
$\frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} \ge 2$
$\frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2$
Умножим обе части на положительный знаменатель $ab$:
$a^2 + b^2 \ge 2ab$
Перенесем $2ab$ в левую часть:
$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$
Левая часть является формулой квадрата разности $(a - b)$:
$(a - b)^2 \ge 0$
Это неравенство верно для любых действительных $a$ и $b$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными для $a>0, b>0$, исходное неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Требуется доказать неравенство $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}$ при $a > 0, b > 0, c > 0, a < b$.
Поскольку $b > 0$ и $c > 0$, знаменатели обеих дробей, $b$ и $b+c$, положительны. Мы можем выполнить перекрестное умножение, не меняя знака неравенства.
$a(b+c) < b(a+c)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$ab + ac < ba + bc$
Вычтем из обеих частей одинаковый член $ab$ (или $ba$):
$ac < bc$
По условию $c > 0$, поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $c$, не меняя знака неравенства:
$a < b$
Мы пришли к неравенству $a < b$, которое является истинным согласно условию задачи. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Что и требовалось доказать.