Номер 138, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 138, страница 296.

Условие.

138. Найдите значения k, при которых имеет один корень уравнение:

a) $(k - 1) x^2 + (k + 4) x + k + 7 = 0;$

б) $9x^2 - 2x + k = 6 - kx;$

в) $(2k - 5) x^2 - 2 (k - 1) x + 3 = 0;$

г) $3kx^2 - 6x + k - 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы уравнение имело один корень, необходимо рассмотреть два случая:

1. Уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю, и при этом коэффициент при $x$ не равен нулю.
2. Уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю), и его дискриминант равен нулю.

a) $(k - 1) x^2 + (k + 4) x + k + 7 = 0$

Случай 1: Уравнение становится линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю:
$k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$.
Подставим $k = 1$ в исходное уравнение:
$(1 - 1) x^2 + (1 + 4) x + 1 + 7 = 0$
$5x + 8 = 0$
$5x = -8 \Rightarrow x = -1.6$.
Уравнение имеет один корень, значит, $k=1$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и его дискриминант $D=0$.
Это происходит при $k - 1 \neq 0$, то есть $k \neq 1$.
Коэффициенты уравнения: $a = k - 1$, $b = k + 4$, $c = k + 7$.
$D = b^2 - 4ac = (k + 4)^2 - 4(k - 1)(k + 7) = 0$.
$(k^2 + 8k + 16) - 4(k^2 + 7k - k - 7) = 0$
$k^2 + 8k + 16 - 4(k^2 + 6k - 7) = 0$
$k^2 + 8k + 16 - 4k^2 - 24k + 28 = 0$
$-3k^2 - 16k + 44 = 0$
$3k^2 + 16k - 44 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $k$:
$D_k = 16^2 - 4(3)(-44) = 256 + 528 = 784 = 28^2$.
$k_1 = \frac{-16 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3}$.
$k_2 = \frac{-16 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
Оба значения удовлетворяют условию $k \neq 1$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем значения $k$.
Ответ: $k \in \{-\frac{22}{3}, 1, 2\}$.

б) $9x^2 - 2x + k = 6 - kx$

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$9x^2 - 2x + kx + k - 6 = 0$
$9x^2 + (k - 2)x + (k - 6) = 0$.
Коэффициент при $x^2$ равен $a=9$. Так как $a \neq 0$, уравнение всегда является квадратным. Следовательно, оно будет иметь один корень только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
Коэффициенты: $a = 9$, $b = k - 2$, $c = k - 6$.
$D = b^2 - 4ac = (k - 2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (k - 6) = 0$.
$(k^2 - 4k + 4) - 36(k - 6) = 0$
$k^2 - 4k + 4 - 36k + 216 = 0$
$k^2 - 40k + 220 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $k$:
$D_k = (-40)^2 - 4(1)(220) = 1600 - 880 = 720$.
$\sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.
$k = \frac{40 \pm 12\sqrt{5}}{2} = 20 \pm 6\sqrt{5}$.
Ответ: $k = 20 \pm 6\sqrt{5}$.

в) $(2k - 5) x^2 - 2(k - 1) x + 3 = 0$

Случай 1: Уравнение становится линейным.
$2k - 5 = 0 \Rightarrow k = 2.5$.
Подставим $k = 2.5$ в уравнение:
$(2 \cdot 2.5 - 5) x^2 - 2(2.5 - 1) x + 3 = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(1.5)x + 3 = 0$
$-3x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Уравнение имеет один корень, значит, $k=2.5$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и $D=0$.
Это происходит при $2k - 5 \neq 0$, то есть $k \neq 2.5$.
Коэффициенты: $a = 2k - 5$, $b = -2(k - 1)$, $c = 3$.
Используем формулу для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac = 0$.
$D_1 = (-(k - 1))^2 - (2k - 5) \cdot 3 = 0$.
$(k - 1)^2 - 6k + 15 = 0$
$k^2 - 2k + 1 - 6k + 15 = 0$
$k^2 - 8k + 16 = 0$
$(k - 4)^2 = 0 \Rightarrow k = 4$.
Это значение удовлетворяет условию $k \neq 2.5$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем значения $k$.
Ответ: $k \in \{2.5, 4\}$.

г) $3kx^2 - 6x + k - 2 = 0$

Случай 1: Уравнение становится линейным.
$3k = 0 \Rightarrow k = 0$.
Подставим $k = 0$ в уравнение:
$3 \cdot 0 \cdot x^2 - 6x + 0 - 2 = 0$
$-6x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1/3$.
Уравнение имеет один корень, значит, $k=0$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и $D=0$.
Это происходит при $3k \neq 0$, то есть $k \neq 0$.
Коэффициенты: $a = 3k$, $b = -6$, $c = k - 2$.
Используем формулу для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac = 0$.
$D_1 = (-3)^2 - 3k(k - 2) = 0$.
$9 - (3k^2 - 6k) = 0$
$9 - 3k^2 + 6k = 0$
$-3k^2 + 6k + 9 = 0$.
Разделим на $-3$: $k^2 - 2k - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $k_1 = 3$ и $k_2 = -1$.
Оба значения удовлетворяют условию $k \neq 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем значения $k$.
Ответ: $k \in \{-1, 0, 3\}$.