Номер 134, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 134, страница 296.

Условие.

134. a) $\left|4x - 3\right| < 5;$

b) $\frac{\left|x-7\right|}{3} \le 2;$

б) $\left|2x + 5\right| \ge 1;$

г) $4 \left|2 - x\right| \le 12.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано неравенство $|4x - 3| < 5$.
Это неравенство вида $|A| < B$, где $B>0$. Оно равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
Применяя это правило к нашему случаю, получаем:
$-5 < 4x - 3 < 5$
Чтобы найти $x$, сначала прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-5 + 3 < 4x - 3 + 3 < 5 + 3$
$-2 < 4x < 8$
Теперь разделим все части неравенства на 4:
$\frac{-2}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{8}{4}$
$-\frac{1}{2} < x < 2$
Таким образом, решение представляет собой интервал.
Ответ: $x \in (-0.5; 2)$.

б) Дано неравенство $|2x + 5| \ge 1$.
Это неравенство вида $|A| \ge B$, где $B \ge 0$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.
Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) $2x + 5 \ge 1$
$2x \ge 1 - 5$
$2x \ge -4$
$x \ge -2$

2) $2x + 5 \le -1$
$2x \le -1 - 5$
$2x \le -6$
$x \le -3$
Решением является объединение полученных множеств: $x$ меньше или равен -3, или $x$ больше или равен -2.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)$.

в) Дано неравенство $\frac{|x - 7|}{3} \le 2$.
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы выделить модуль. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$|x - 7| \le 6$
Это неравенство вида $|A| \le B$, где $B \ge 0$, которое равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
Запишем соответствующее двойное неравенство:
$-6 \le x - 7 \le 6$
Прибавим 7 ко всем частям неравенства, чтобы найти $x$:
$-6 + 7 \le x - 7 + 7 \le 6 + 7$
$1 \le x \le 13$
Решением является числовой отрезок.
Ответ: $x \in [1; 13]$.

г) Дано неравенство $4|2 - x| \le 12$.
Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется.
$|2 - x| \le 3$
Воспользуемся свойством модуля $|a| = |-a|$, из которого следует, что $|2 - x| = |-(x - 2)| = |x - 2|$. Неравенство можно переписать в виде:
$|x - 2| \le 3$
Это неравенство вида $|A| \le B$, которое равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
$-3 \le x - 2 \le 3$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-3 + 2 \le x - 2 + 2 \le 3 + 2$
$-1 \le x \le 5$
Решением является числовой отрезок.
Ответ: $x \in [-1; 5]$.