Номер 132, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 132, страница 295.

Условие.

132. При каких значениях a данное уравнение:

а) $ax - 2x = 3 (x - 1);$

б) $a (1 - x) + 2 = 3x - ax;$

в) $x (2 - a) - x = 5 + x;$

г) $5 + 3 (x + 3a) = 9a + 5;$

имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи каждое уравнение необходимо привести к линейному виду $kx = b$, где $k$ и $b$ могут зависеть от параметра $a$. Анализ количества решений проводится следующим образом:

• Если коэффициент $k \neq 0$, уравнение имеет единственное решение $x = b/k$.
• Если $k = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$ (где $b \neq 0$), что невозможно, следовательно, решений нет.
• Если $k = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечное множество решений.

а) $ax - 2x = 3(x - 1)$

Преобразуем уравнение, раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части:

$ax - 2x = 3x - 3$

$ax - 2x - 3x = -3$

$x(a - 5) = -3$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = a - 5$ и $b = -3$.

1. Единственное решение существует, когда $k \neq 0$, то есть $a - 5 \neq 0$, откуда $a \neq 5$.

2. Нет решений, когда $k = 0$ и $b \neq 0$. Условие $k = a - 5 = 0$ выполняется при $a = 5$. При этом $b = -3 \neq 0$. Таким образом, при $a = 5$ уравнение не имеет решений.

3. Бесконечное множество решений существует, когда $k = 0$ и $b = 0$. Условие $k=0$ дает $a=5$, но при этом $b = -3 \neq 0$. Следовательно, нет таких значений $a$, при которых уравнение имело бы бесконечное множество решений.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \neq 5$; не имеет решений при $a = 5$; не существует значений $a$, при которых уравнение имеет бесконечное множество решений.

б) $a(1 - x) + 2 = 3x - ax$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a - ax + 2 = 3x - ax$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-ax + ax - 3x = -a - 2$

$-3x = -a - 2$

$3x = a + 2$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = 3$ и $b = a + 2$.

1. Единственное решение: $k \neq 0$. Так как $k = 3$ и $3 \neq 0$ всегда, уравнение имеет единственное решение при любом значении $a$.

2. Нет решений: $k = 0$. Так как $k=3$, это условие никогда не выполняется.

3. Бесконечное множество решений: $k = 0$. Это условие также никогда не выполняется.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при любом значении $a$; не существует значений $a$, при которых уравнение не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

в) $x(2 - a) - x = 5 + x$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:

$2x - ax - x = 5 + x$

$x - ax = 5 + x$

$x - ax - x = 5$

$-ax = 5$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = -a$ и $b = 5$.

1. Единственное решение существует, когда $k \neq 0$, то есть $-a \neq 0$, откуда $a \neq 0$.

2. Нет решений, когда $k = 0$ и $b \neq 0$. Условие $k = -a = 0$ выполняется при $a = 0$. При этом $b = 5 \neq 0$. Таким образом, при $a = 0$ уравнение не имеет решений.

3. Бесконечное множество решений существует, когда $k = 0$ и $b = 0$. Условие $k=0$ дает $a=0$, но при этом $b = 5 \neq 0$. Следовательно, таких значений $a$ не существует.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \neq 0$; не имеет решений при $a = 0$; не существует значений $a$, при которых уравнение имеет бесконечное множество решений.

г) $5 + 3(x + 3a) = 9a + 5 —$

Примечание: условие в задачнике, по-видимому, содержит опечатку или является неполным. Наиболее вероятный вариант, позволяющий исследовать все случаи, — это уравнение вида $5 + 3(x + 3a) = 9a + 5 - ax$. Решим его.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$5 + 3x + 9a = 9a + 5 - ax$

Перенесем все слагаемые с $x$ влево, а остальные вправо:

$3x + ax = 9a + 5 - 5 - 9a$

$x(3 + a) = 0$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = 3 + a$ и $b = 0$.

1. Единственное решение существует, когда $k \neq 0$, то есть $3 + a \neq 0$, откуда $a \neq -3$. В этом случае решение $x = 0/(3+a) = 0$.

2. Нет решений, когда $k = 0$ и $b \neq 0$. Условие $k = 3 + a = 0$ дает $a = -3$. Но при этом $b = 0$, поэтому условие $b \neq 0$ не выполняется. Следовательно, нет таких значений $a$, при которых уравнение не имеет решений.

3. Бесконечное множество решений существует, когда $k = 0$ и $b = 0$. Условие $k = 3 + a = 0$ дает $a = -3$. При этом $b = 0$, что всегда верно. Таким образом, при $a = -3$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$ и имеет бесконечное множество решений.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \neq -3$; имеет бесконечное множество решений при $a = -3$; не существует значений $a$, при которых уравнение не имеет решений.