Номер 125, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 125, страница 294.
№125 (с. 294)
Условие. №125 (с. 294)
скриншот условия

125. Решите графически уравнение:
а) $log_{\frac{1}{2}} x = x - 3;$
б) $\sqrt{x-2} = \frac{3}{x};$
в) $log_2 x = 2^{5-x};$
г) $2^{|x|} = 11 - |x|.$
Решение 1. №125 (с. 294)

Решение 5. №125 (с. 294)
а) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{2}} x = x - 3$ графическим методом, построим графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x - 3$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.
1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием меньше 1, поэтому она является убывающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$. Найдем еще несколько точек:
- при $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$;
- при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$;
- при $x = \frac{1}{2}$, $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
2. График функции $y_2 = x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая. Построим ее по двум точкам:
- при $x = 0$, $y = -3$;
- при $x = 3$, $y = 0$.
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Проверим, является ли точка с абсциссой $x=2$ точкой пересечения. Для $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$: при $x=2$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Для $y_2 = x - 3$: при $x=2$, $y_2 = 2 - 3 = -1$. Так как значения $y_1$ и $y_2$ совпали, точка $(2, -1)$ является точкой пересечения графиков. Поскольку одна функция убывающая, а другая возрастающая, других точек пересечения нет.
Ответ: $x = 2$.
б) Для решения уравнения $\sqrt{x-2} = \frac{3}{x}$ построим графики функций $y_1 = \sqrt{x-2}$ и $y_2 = \frac{3}{x}$.
1. График функции $y_1 = \sqrt{x-2}$. Это ветвь параболы. Область определения: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Функция является возрастающей на всей области определения. Найдем несколько точек:
- при $x=2$, $y = \sqrt{2-2} = 0$;
- при $x=3$, $y = \sqrt{3-2} = 1$;
- при $x=6$, $y = \sqrt{6-2} = 2$.
2. График функции $y_2 = \frac{3}{x}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Поскольку область определения первой функции $x \ge 2$, нас интересует только часть гиперболы в I четверти. Эта функция убывает при $x > 0$. Найдем несколько точек:
- при $x=1$, $y = 3$;
- при $x=3$, $y = 1$;
- при $x=6$, $y = \frac{3}{6} = 0.5$.
Построив графики, видим, что они пересекаются. Найдем абсциссу точки пересечения. Проверим значение $x=3$: Для $y_1 = \sqrt{x-2}$: при $x=3$, $y_1 = \sqrt{3-2} = 1$. Для $y_2 = \frac{3}{x}$: при $x=3$, $y_2 = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3, 1)$ принадлежит обоим графикам. Так как на общей области определения ($x \ge 2$) одна функция возрастает, а другая убывает, точка пересечения единственная.
Ответ: $x = 3$.
в) Для решения уравнения $\log_2 x = 2^{5-x}$ построим графики функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 2^{5-x}$.
1. График функции $y_1 = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая функция. Область определения $x > 0$. Ключевые точки:
- при $x=1$, $y=0$;
- при $x=2$, $y=1$;
- при $x=4$, $y=2$;
- при $x=8$, $y=3$.
2. График функции $y_2 = 2^{5-x}$. Это убывающая показательная функция, так как ее можно записать в виде $y_2 = 2^5 \cdot 2^{-x} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^x$. Найдем несколько точек:
- при $x=3$, $y = 2^{5-3} = 2^2 = 4$;
- при $x=4$, $y = 2^{5-4} = 2^1 = 2$;
- при $x=5$, $y = 2^{5-5} = 2^0 = 1$.
Сравнивая значения функций в вычисленных точках, видим, что при $x=4$ значения совпадают: $y_1(4) = \log_2 4 = 2$. $y_2(4) = 2^{5-4} = 2^1 = 2$. Точка $(4, 2)$ является точкой пересечения. Поскольку функция $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, точка пересечения единственная.
Ответ: $x = 4$.
г) Для решения уравнения $2^{|x|} = 11 - |x|$, введем замену $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение примет вид $2^t = 11 - t$. Решим его графически относительно переменной $t$.
Построим графики функций $y_1 = 2^t$ и $y_2 = 11 - t$ для $t \ge 0$.
1. График функции $y_1 = 2^t$. Это возрастающая показательная функция.
- при $t=0$, $y=1$;
- при $t=1$, $y=2$;
- при $t=2$, $y=4$;
- при $t=3$, $y=8$.
2. График функции $y_2 = 11 - t$. Это убывающая линейная функция (луч, начинающийся в точке $(0, 11)$).
- при $t=0$, $y=11$;
- при $t=3$, $y=8$;
- при $t=11$, $y=0$.
Из построенных графиков и таблиц значений видно, что графики пересекаются в точке, где $t=3$: $y_1(3) = 2^3 = 8$. $y_2(3) = 11 - 3 = 8$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, то точка пересечения единственная. Итак, $t=3$. Вернемся к исходной переменной: $|x| = t \Rightarrow |x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: $x = -3, x = 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 125 расположенного на странице 294 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №125 (с. 294), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.