Номер 125, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 125, страница 294.

Условие.

125. Решите графически уравнение:

а) $log_{\frac{1}{2}} x = x - 3;$

б) $\sqrt{x-2} = \frac{3}{x};$

в) $log_2 x = 2^{5-x};$

г) $2^{|x|} = 11 - |x|.$

Решение 1.

Решение 5.

а) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{2}} x = x - 3$ графическим методом, построим графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x - 3$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием меньше 1, поэтому она является убывающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$. Найдем еще несколько точек:

• при $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$;
• при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$;
• при $x = \frac{1}{2}$, $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.

2. График функции $y_2 = x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая. Построим ее по двум точкам:

• при $x = 0$, $y = -3$;
• при $x = 3$, $y = 0$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Проверим, является ли точка с абсциссой $x=2$ точкой пересечения. Для $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$: при $x=2$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Для $y_2 = x - 3$: при $x=2$, $y_2 = 2 - 3 = -1$. Так как значения $y_1$ и $y_2$ совпали, точка $(2, -1)$ является точкой пересечения графиков. Поскольку одна функция убывающая, а другая возрастающая, других точек пересечения нет.

Ответ: $x = 2$.

б) Для решения уравнения $\sqrt{x-2} = \frac{3}{x}$ построим графики функций $y_1 = \sqrt{x-2}$ и $y_2 = \frac{3}{x}$.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x-2}$. Это ветвь параболы. Область определения: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Функция является возрастающей на всей области определения. Найдем несколько точек:

• при $x=2$, $y = \sqrt{2-2} = 0$;
• при $x=3$, $y = \sqrt{3-2} = 1$;
• при $x=6$, $y = \sqrt{6-2} = 2$.

2. График функции $y_2 = \frac{3}{x}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Поскольку область определения первой функции $x \ge 2$, нас интересует только часть гиперболы в I четверти. Эта функция убывает при $x > 0$. Найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y = 3$;
• при $x=3$, $y = 1$;
• при $x=6$, $y = \frac{3}{6} = 0.5$.

Построив графики, видим, что они пересекаются. Найдем абсциссу точки пересечения. Проверим значение $x=3$: Для $y_1 = \sqrt{x-2}$: при $x=3$, $y_1 = \sqrt{3-2} = 1$. Для $y_2 = \frac{3}{x}$: при $x=3$, $y_2 = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3, 1)$ принадлежит обоим графикам. Так как на общей области определения ($x \ge 2$) одна функция возрастает, а другая убывает, точка пересечения единственная.

Ответ: $x = 3$.

в) Для решения уравнения $\log_2 x = 2^{5-x}$ построим графики функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 2^{5-x}$.

1. График функции $y_1 = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая функция. Область определения $x > 0$. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y=0$;
• при $x=2$, $y=1$;
• при $x=4$, $y=2$;
• при $x=8$, $y=3$.

2. График функции $y_2 = 2^{5-x}$. Это убывающая показательная функция, так как ее можно записать в виде $y_2 = 2^5 \cdot 2^{-x} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^x$. Найдем несколько точек:

• при $x=3$, $y = 2^{5-3} = 2^2 = 4$;
• при $x=4$, $y = 2^{5-4} = 2^1 = 2$;
• при $x=5$, $y = 2^{5-5} = 2^0 = 1$.

Сравнивая значения функций в вычисленных точках, видим, что при $x=4$ значения совпадают: $y_1(4) = \log_2 4 = 2$. $y_2(4) = 2^{5-4} = 2^1 = 2$. Точка $(4, 2)$ является точкой пересечения. Поскольку функция $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, точка пересечения единственная.

Ответ: $x = 4$.

г) Для решения уравнения $2^{|x|} = 11 - |x|$, введем замену $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение примет вид $2^t = 11 - t$. Решим его графически относительно переменной $t$.

Построим графики функций $y_1 = 2^t$ и $y_2 = 11 - t$ для $t \ge 0$.

1. График функции $y_1 = 2^t$. Это возрастающая показательная функция.

• при $t=0$, $y=1$;
• при $t=1$, $y=2$;
• при $t=2$, $y=4$;
• при $t=3$, $y=8$.

2. График функции $y_2 = 11 - t$. Это убывающая линейная функция (луч, начинающийся в точке $(0, 11)$).

• при $t=0$, $y=11$;
• при $t=3$, $y=8$;
• при $t=11$, $y=0$.

Из построенных графиков и таблиц значений видно, что графики пересекаются в точке, где $t=3$: $y_1(3) = 2^3 = 8$. $y_2(3) = 11 - 3 = 8$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, то точка пересечения единственная. Итак, $t=3$. Вернемся к исходной переменной: $|x| = t \Rightarrow |x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.