Номер 120, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 120, страница 294.

Условие.

120. а) $y = x^{2/3}$;

б) $y = 3^x - 3^{-x}$;

в) $y = 2^{\cos x}$;

г) $y = \sqrt[5]{x^4} + 1$.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Для нахождения производной функции $y = x^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \frac{2}{3}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

Результат можно также представить в виде корня:

$y' = \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

б)

Дана функция $y = 3^x - 3^{-x}$. Это разность двух функций, поэтому ее производная равна разности производных:

$y' = (3^x - 3^{-x})' = (3^x)' - (3^{-x})'$.

Используем формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и правило дифференцирования сложной функции.

Производная первого слагаемого:

$(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Для второго слагаемого $3^{-x}$ применим правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = -x$, тогда производная внутренней функции $u' = -1$.

$(3^{-x})' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-x)' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-1) = -3^{-x} \ln 3$.

Теперь вычисляем производную исходной функции:

$y' = 3^x \ln 3 - (-3^{-x} \ln 3) = 3^x \ln 3 + 3^{-x} \ln 3$.

Вынесем общий множитель $\ln 3$ за скобки:

$y' = (3^x + 3^{-x})\ln 3$.

Ответ: $y' = (3^x + 3^{-x})\ln 3$.

в)

Дана сложная функция $y = 2^{\cos x}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 2^u$, а внутренняя функция $g(x) = \cos x$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (2^u)' = 2^u \ln 2$.

$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь подставляем всё в формулу производной сложной функции:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot (-\sin x)$.

Упростим выражение:

$y' = -2^{\cos x} \sin x \ln 2$.

Ответ: $y' = -2^{\cos x} \sin x \ln 2$.

г)

Дана функция $y = \sqrt[5]{x^4} + 1$. Сначала преобразуем ее, представив корень в виде степени:

$y = x^{\frac{4}{5}} + 1$.

Производная суммы равна сумме производных:

$y' = (x^{\frac{4}{5}} + 1)' = (x^{\frac{4}{5}})' + (1)'$.

Производная константы (числа 1) равна нулю: $(1)' = 0$.

Для нахождения производной $x^{\frac{4}{5}}$ используем формулу для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n = \frac{4}{5}$.

$(x^{\frac{4}{5}})' = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-\frac{5}{5}} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

Собираем все вместе:

$y' = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} + 0 = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

Результат можно также записать с использованием корня:

$y' = \frac{4}{5x^{\frac{1}{5}}} = \frac{4}{5\sqrt[5]{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.