Номер 120, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 120, страница 294.
№120 (с. 294)
Условие. №120 (с. 294)
скриншот условия

120. а) $y = x^{2/3}$;
б) $y = 3^x - 3^{-x}$;
в) $y = 2^{\cos x}$;
г) $y = \sqrt[5]{x^4} + 1$.
Решение 1. №120 (с. 294)

Решение 5. №120 (с. 294)
а)
Для нахождения производной функции $y = x^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
В данном случае показатель степени $n = \frac{2}{3}$.
Подставляем значение $n$ в формулу:
$y' = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.
Результат можно также представить в виде корня:
$y' = \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.
б)
Дана функция $y = 3^x - 3^{-x}$. Это разность двух функций, поэтому ее производная равна разности производных:
$y' = (3^x - 3^{-x})' = (3^x)' - (3^{-x})'$.
Используем формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и правило дифференцирования сложной функции.
Производная первого слагаемого:
$(3^x)' = 3^x \ln 3$.
Для второго слагаемого $3^{-x}$ применим правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = -x$, тогда производная внутренней функции $u' = -1$.
$(3^{-x})' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-x)' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-1) = -3^{-x} \ln 3$.
Теперь вычисляем производную исходной функции:
$y' = 3^x \ln 3 - (-3^{-x} \ln 3) = 3^x \ln 3 + 3^{-x} \ln 3$.
Вынесем общий множитель $\ln 3$ за скобки:
$y' = (3^x + 3^{-x})\ln 3$.
Ответ: $y' = (3^x + 3^{-x})\ln 3$.
в)
Дана сложная функция $y = 2^{\cos x}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Здесь внешняя функция $f(u) = 2^u$, а внутренняя функция $g(x) = \cos x$.
Находим производные этих функций:
$f'(u) = (2^u)' = 2^u \ln 2$.
$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Теперь подставляем всё в формулу производной сложной функции:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot (-\sin x)$.
Упростим выражение:
$y' = -2^{\cos x} \sin x \ln 2$.
Ответ: $y' = -2^{\cos x} \sin x \ln 2$.
г)
Дана функция $y = \sqrt[5]{x^4} + 1$. Сначала преобразуем ее, представив корень в виде степени:
$y = x^{\frac{4}{5}} + 1$.
Производная суммы равна сумме производных:
$y' = (x^{\frac{4}{5}} + 1)' = (x^{\frac{4}{5}})' + (1)'$.
Производная константы (числа 1) равна нулю: $(1)' = 0$.
Для нахождения производной $x^{\frac{4}{5}}$ используем формулу для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n = \frac{4}{5}$.
$(x^{\frac{4}{5}})' = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-\frac{5}{5}} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.
Собираем все вместе:
$y' = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} + 0 = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.
Результат можно также записать с использованием корня:
$y' = \frac{4}{5x^{\frac{1}{5}}} = \frac{4}{5\sqrt[5]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 120 расположенного на странице 294 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №120 (с. 294), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.