Номер 117, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 117, страница 294.

Условие.

117. a) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 4;$

б) $y = \log_4 (x + 3);$

в) $y = 2 - 3^x;$

г) $y = \sqrt{x - 4}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для функции $y = (\frac{1}{2})^x - 4$.
Область определения ($D(y)$): Показательная функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ определена для всех действительных чисел $x$. Вычитание константы не изменяет область определения. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Поскольку основание показательной функции $a = \frac{1}{2}$ положительно, значение выражения $(\frac{1}{2})^x$ всегда строго больше нуля для любого $x$, то есть $(\frac{1}{2})^x > 0$. Если из этого выражения вычесть 4, получим:
$y = (\frac{1}{2})^x - 4 > 0 - 4$, что равносильно $y > -4$.
Таким образом, область значений функции - это все числа, строго большие -4.
$E(y) = (-4; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-4; +\infty)$.

б) Для функции $y = \log_4(x + 3)$.
Область определения ($D(y)$): Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Следовательно, необходимо выполнить условие:
$x + 3 > 0$
$x > -3$
Таким образом, область определения функции - это все числа, строго большие -3.
$D(y) = (-3; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Областью значений любой логарифмической функции $y = \log_a(x)$ (где $a > 0, a \neq 1$) является множество всех действительных чисел. Горизонтальный сдвиг графика на 3 единицы влево не влияет на область значений.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-3; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = 2 - 3^x$.
Область определения ($D(y)$): Показательная функция $y_1 = 3^x$ определена для всех действительных чисел $x$. Преобразования (умножение на константу и сложение с константой) не изменяют область определения. Следовательно, область определения - это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Значение показательной функции $3^x$ всегда строго положительно: $3^x > 0$.
Умножим это неравенство на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$-3^x < 0$.
Теперь прибавим 2 к обеим частям неравенства:
$2 - 3^x < 2$, то есть $y < 2$.
Таким образом, область значений функции - это все числа, меньшие 2.
$E(y) = (-\infty; 2)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 2)$.

г) Для функции $y = \sqrt{x - 4}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
$x - 4 \ge 0$
$x \ge 4$
Следовательно, область определения функции - это все числа, большие или равные 4.
$D(y) = [4; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень по определению всегда принимает неотрицательные значения. Таким образом, $y \ge 0$.
Минимальное значение функции достигается при наименьшем возможном значении $x$ из области определения, то есть при $x=4$. При $x=4$, $y = \sqrt{4-4} = 0$. При увеличении $x$, значение $y$ также неограниченно увеличивается.
Таким образом, область значений функции - это все неотрицательные числа.
$E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [4; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.