Номер 113, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 113, страница 293.

Условие.

113. а) $y = \sqrt{x^2 \cdot 3^x - 3^x + 1};$

б) $y = \sqrt[8]{2^{\sin x} - 1};$

в) $y = \log_3 (4 - 3x + x^2);$

г) $y = \log_2 \sin x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

В задаче требуется найти область определения для каждой из четырех функций.

a) $y = \sqrt{x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1}}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} \ge 0$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать выражение:

$x^2 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^1 \ge 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (x^2 - 3) \ge 0$

Показательная функция $y=3^x$ всегда принимает строго положительные значения ($3^x > 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$, не изменяя знак неравенства:

$x^2 - 3 \ge 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$x^2 \ge 3$

Это неравенство эквивалентно $|x| \ge \sqrt{3}$, что распадается на два случая:

$x \ge \sqrt{3}$ или $x \le -\sqrt{3}$

Область определения представляет собой объединение двух лучей.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[8]{2^{\sin x} - 1}$

Поскольку корень имеет четный показатель (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составляем и решаем неравенство:

$2^{\sin x} - 1 \ge 0$

Переносим единицу в правую часть:

$2^{\sin x} \ge 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2, то есть $1 = 2^0$:

$2^{\sin x} \ge 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$\sin x \ge 0$

Решением этого тригонометрического неравенства являются все значения $x$, для которых синус неотрицателен. Это соответствует углам в I и II координатных четвертях. Учитывая периодичность функции синус, общее решение записывается в виде:

$2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \log_3(4 - 3x + x^2)$

Область определения логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Таким образом, решаем неравенство:

$4 - 3x + x^2 > 0$

Запишем квадратный трехчлен в стандартном виде:

$x^2 - 3x + 4 > 0$

Чтобы определить знак этого выражения, проанализируем соответствующую квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 3x + 4$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем ее дискриминант, чтобы определить, есть ли у нее корни:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у квадратного трехчлена нет действительных корней, то есть парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 - 3x + 4$ положительно при всех действительных значениях $x$.

Следовательно, неравенство выполняется для любого $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) $y = \log_2 \sin x$

Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Записываем соответствующее неравенство:

$\sin x > 0$

Это тригонометрическое неравенство. Синус положителен для углов в I и II координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует интервалу $(0, \pi)$. Учитывая, что период функции синус равен $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид:

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.