Номер 111, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 111, страница 293.

Условие.

111. Решите графически уравнение:

a) $ \sin x = -x $

б) $ \operatorname{tg} x = \sqrt{2} \cos x, -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $

в) $ \operatorname{tg} x = x, -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $

г) $ \cos x = 1 - x^2 $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы решить уравнение $ \sin x = -x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -x $.

График функции $ y = \sin x $ — это синусоида, волнистая кривая, проходящая через начало координат и колеблющаяся в пределах от -1 до 1.

График функции $ y = -x $ — это прямая линия, проходящая через начало координат под углом $ 135^\circ $ к положительному направлению оси Ох (биссектриса второго и четвертого координатных углов).

Из построения видно, что оба графика пересекаются в одной точке — в начале координат (0, 0). Следовательно, $ x = 0 $ является решением уравнения.

Чтобы убедиться, что других решений нет, проанализируем функции.

• При $ x > 0 $, значения $ y = \sin x $ колеблются, в то время как значения $ y = -x $ становятся отрицательными и убывают. На интервале $ (0, \pi) $, $ \sin x > 0 $, а $ -x < 0 $, поэтому пересечений нет. При $ x > 1 $, $ -x < -1 $, в то время как $ \sin x \ge -1 $. Таким образом, при $ x > 0 $ пересечений, кроме как в точке $ x=0 $, быть не может.
• При $ x < 0 $, можно рассмотреть функцию $ f(x) = \sin x + x $. Ее производная $ f'(x) = \cos x + 1 $. Поскольку $ \cos x \ge -1 $, производная $ f'(x) \ge 0 $ для всех $ x $, причем $ f'(x) = 0 $ только в отдельных точках $ x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $. Это означает, что функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Так как $ f(0) = 0 $ и функция строго возрастает, она не может принимать значение 0 в других точках.

Следовательно, графики пересекаются только в одной точке.

Ответ: $ x=0 $.

б) Чтобы решить уравнение $ \text{tg } x = \sqrt{2} \cos x $ на интервале $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ графически, построим графики функций $ y = \text{tg } x $ и $ y = \sqrt{2} \cos x $.

График функции $ y = \text{tg } x $ на заданном интервале — это основная ветвь тангенсоиды, проходящая через начало координат и имеющая вертикальные асимптоты $ x = -\frac{\pi}{2} $ и $ x = \frac{\pi}{2} $.

График функции $ y = \sqrt{2} \cos x $ — это косинусоида, сжатая к оси OY, с амплитудой $ \sqrt{2} \approx 1.414 $. На заданном интервале это "арка", симметричная относительно оси OY, с максимумом в точке $ (0, \sqrt{2}) $.

Проанализируем пересечение графиков:

• На интервале $ (-\frac{\pi}{2}, 0) $, имеем $ \text{tg } x < 0 $, а $ \sqrt{2} \cos x > 0 $. Значения функций имеют разные знаки, поэтому пересечений нет.
• В точке $ x=0 $, $ \text{tg } 0 = 0 $, а $ \sqrt{2} \cos 0 = \sqrt{2} $. Значения не равны.
• На интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $, обе функции положительны. Функция $ y = \text{tg } x $ возрастает от 0 до $ +\infty $, а функция $ y = \sqrt{2} \cos x $ убывает от $ \sqrt{2} $ до 0. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза.

Найдем точку пересечения аналитически, чтобы подтвердить графическое решение. Преобразуем уравнение, учитывая, что на данном интервале $ \cos x \neq 0 $:
$ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{2} \cos x $
$ \sin x = \sqrt{2} \cos^2 x $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $:
$ \sin x = \sqrt{2} (1 - \sin^2 x) $
$ \sqrt{2} \sin^2 x + \sin x - \sqrt{2} = 0 $
Сделаем замену $ t = \sin x $. Получаем квадратное уравнение $ \sqrt{2} t^2 + t - \sqrt{2} = 0 $.
Его корни: $ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 3}{2\sqrt{2}} $.
Получаем два значения для $ t $: $ t_1 = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ t_2 = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2} $.
Возвращаясь к замене:
1) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ этому уравнению удовлетворяет корень $ x = \frac{\pi}{4} $.
2) $ \sin x = -\sqrt{2} $. Это уравнение не имеет решений, так как $ |\sin x| \le 1 $, а $ |-\sqrt{2}| > 1 $.
Таким образом, существует единственное решение.

Ответ: $ x=\frac{\pi}{4} $.

в) Чтобы решить уравнение $ \text{tg } x = x $ на интервале $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ графически, построим графики функций $ y = \text{tg } x $ и $ y = x $.

График функции $ y = \text{tg } x $ на заданном интервале — это основная ветвь тангенсоиды.

График функции $ y = x $ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Оба графика проходят через начало координат, поэтому точка (0, 0) является точкой их пересечения, и $ x = 0 $ — корень уравнения.

Чтобы определить, есть ли другие корни, сравним поведение функций. Сравним их производные (скорости роста).
Производная функции $ y = x $ равна $ (x)' = 1 $.
Производная функции $ y = \text{tg } x $ равна $ (\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $.
В точке $ x = 0 $ производная тангенса равна $ \sec^2 0 = 1 $. Это значит, что в начале координат прямая $ y=x $ является касательной к графику $ y=\text{tg } x $.
Для любого другого $ x $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, $ \cos^2 x < 1 $, поэтому $ \frac{1}{\cos^2 x} > 1 $. Это означает, что график тангенса "растет" быстрее, чем прямая $ y=x $ во всех точках, кроме нуля.
Поскольку в точке $ x=0 $ графики касаются, а на интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $ тангенс растет быстрее, то $ \text{tg } x > x $. На интервале $ (-\frac{\pi}{2}, 0) $ по той же причине (с учетом знаков) $ \text{tg } x < x $.
Следовательно, графики имеют только одну общую точку.

Ответ: $ x=0 $.

г) Чтобы решить уравнение $ \cos x = 1 - x^2 $ графически, построим графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 1 - x^2 $.

График функции $ y = \cos x $ — это стандартная косинусоида, проходящая через точку (0, 1).

График функции $ y = 1 - x^2 $ — это парабола с ветвями, направленными вниз, вершина которой находится в точке (0, 1).

Оба графика проходят через точку (0, 1), так как $ \cos 0 = 1 $ и $ 1 - 0^2 = 1 $. Следовательно, $ x = 0 $ является решением уравнения.

Проверим наличие других решений. Для этого рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x - (1 - x^2) = \cos x + x^2 - 1 $. Мы ищем корни уравнения $ f(x)=0 $.
Мы уже знаем, что $ f(0) = 0 $.
Найдем первую производную: $ f'(x) = -\sin x + 2x $. Заметим, что $ f'(0) = -\sin 0 + 2 \cdot 0 = 0 $.
Найдем вторую производную: $ f''(x) = -\cos x + 2 $.
Поскольку $ -1 \le \cos x \le 1 $, то $ -1 \le -\cos x \le 1 $. Тогда $ 2-1 \le 2-\cos x \le 2+1 $, то есть $ 1 \le f''(x) \le 3 $.
Так как $ f''(x) > 0 $ для всех значений $ x $, функция $ f(x) $ является выпуклой вниз на всей числовой прямой.
Это означает, что $ f'(x) $ — строго возрастающая функция. Поскольку $ f'(0)=0 $, то $ f'(x) < 0 $ при $ x < 0 $ и $ f'(x) > 0 $ при $ x > 0 $.
Следовательно, точка $ x=0 $ является точкой единственного глобального минимума функции $ f(x) $.
Минимальное значение функции равно $ f(0) = 0 $. Это значит, что для всех $ x \ne 0 $, значение функции $ f(x) > 0 $, то есть $ \cos x + x^2 - 1 > 0 $, или $ \cos x > 1 - x^2 $.
Таким образом, равенство $ \cos x = 1 - x^2 $ достигается только в одной точке $ x=0 $.

Ответ: $ x=0 $.