Номер 109, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 109, страница 293.

Условие.

109. Сравните числа:

а) $ \sin \left(\pi + \frac{1}{\pi}\right) $ и $ \cos \left(\pi + \frac{1}{\pi}\right) $;

б) $ \operatorname{tg} \pi^2 $ и $ \operatorname{ctg} \pi^2 $;

в) $ \operatorname{tg} 2 $ и $ \operatorname{ctg} 2 $;

г) $ \sin 1 $ и $ \cos 1 $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Сравните числа $sin(\pi + \frac{1}{\pi})$ и $cos(\pi + \frac{1}{\pi})$

Для сравнения этих чисел воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций. Согласно этим формулам:

$sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$

$cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$

В данном случае в качестве $\alpha$ выступает $\frac{1}{\pi}$. Таким образом, задача сводится к сравнению чисел $-sin(\frac{1}{\pi})$ и $-cos(\frac{1}{\pi})$.

Это сравнение, в свою очередь, равносильно сравнению $sin(\frac{1}{\pi})$ и $cos(\frac{1}{\pi})$. Знак неравенства между ними нужно будет изменить на противоположный, так как мы сравниваем отрицательные числа.

Оценим величину угла $\frac{1}{\pi}$ радиан. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$. Следовательно, $\frac{1}{\pi}$ — это положительное число. Сравним его с $\frac{\pi}{4}$:

$\frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3.14} \approx 0.318$

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} = 0.785$

Так как $0.318 < 0.785$, то $0 < \frac{1}{\pi} < \frac{\pi}{4}$.

В первой четверти на интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ значения и синуса, и косинуса положительны. При этом, для любого угла $x$ из этого интервала выполняется неравенство $cos(x) > sin(x)$.

Поскольку угол $\frac{1}{\pi}$ принадлежит этому интервалу, то $cos(\frac{1}{\pi}) > sin(\frac{1}{\pi})$.

Умножим обе части этого неравенства на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$-cos(\frac{1}{\pi}) < -sin(\frac{1}{\pi})$

Возвращаясь к исходным выражениям, получаем:

$cos(\pi + \frac{1}{\pi}) < sin(\pi + \frac{1}{\pi})$

Ответ: $sin(\pi + \frac{1}{\pi}) > cos(\pi + \frac{1}{\pi})$.

б) Сравните числа $tg(\pi^2)$ и $ctg(\pi^2)$

Для сравнения $tg(\pi^2)$ и $ctg(\pi^2)$ сначала определим, в какой координатной четверти находится угол $\pi^2$ радиан.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, найдем $\pi^2 \approx (3.14159)^2 \approx 9.8696$.

Теперь сравним это значение с ближайшими значениями, кратными $\frac{\pi}{2}$:

$3\pi \approx 3 \times 3.14159 = 9.42477$

$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 3.5 \times 3.14159 = 10.99556$

Поскольку $9.42477 < 9.8696 < 10.99556$, мы можем заключить, что $3\pi < \pi^2 < \frac{7\pi}{2}$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти (если отбросить полный оборот $2\pi$, получим интервал $(\pi, \frac{3\pi}{2})$).

В третьей четверти и тангенс, и котангенс положительны. Чтобы их сравнить, определим, какое из чисел больше 1, а какое меньше 1. Равенство $tg(x) = ctg(x)$ (что эквивалентно $tg(x) = 1$) в третьей четверти достигается при $x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. С учетом периодичности, нас интересует точка $3\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}$.

$\frac{13\pi}{4} \approx \frac{13 \times 3.14159}{4} \approx 10.21017$

Мы видим, что $\pi^2 \approx 9.8696 < 10.21017$. Таким образом, $3\pi < \pi^2 < \frac{13\pi}{4}$.

На интервале $(3\pi, 3\pi + \frac{\pi}{4})$ функция $tg(x)$ возрастает от 0 до 1. Следовательно, $0 < tg(\pi^2) < 1$.

Так как $ctg(\pi^2) = \frac{1}{tg(\pi^2)}$, а $tg(\pi^2)$ — положительное число меньше 1, то $ctg(\pi^2) > 1$.

Следовательно, $tg(\pi^2) < 1 < ctg(\pi^2)$.

Ответ: $tg(\pi^2) < ctg(\pi^2)$.

в) Сравните числа $tg(2)$ и $ctg(2)$

Определим четверть, в которой находится угол 2 радиана.

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.5708$

$\pi \approx 3.14159$

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол 2 радиана находится во второй координатной четверти.

Во второй четверти $sin(x) > 0$ и $cos(x) < 0$, поэтому и $tg(x)$, и $ctg(x)$ отрицательны.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, рассмотрим их поведение относительно -1. Равенство $tg(x)=-1$ во второй четверти достигается при $x = \frac{3\pi}{4}$.

$\frac{3\pi}{4} \approx \frac{3 \times 3.14159}{4} \approx 2.3562$

Мы имеем $\frac{\pi}{2} < 2 < \frac{3\pi}{4}$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$ функция $tg(x)$ монотонно возрастает от $-\infty$ до -1. Значит, значение $tg(2)$ находится в интервале $(-\infty, -1)$, то есть $tg(2) < -1$.

Поскольку $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$, то если $tg(2) < -1$, то, разделив 1 на отрицательное число, модуль которого больше 1, мы получим число в интервале $(-1, 0)$. Таким образом, $-1 < ctg(2) < 0$.

Сравнивая полученные значения, имеем: $tg(2) < -1$ и $-1 < ctg(2)$.

Отсюда следует, что $tg(2) < ctg(2)$.

Ответ: $tg(2) < ctg(2)$.

г) Сравните числа $sin(1)$ и $cos(1)$

Сравним аргумент, равный 1 радиану, с ключевым значением $\frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.7854$

Так как $1 > 0.7854$, то $1 > \frac{\pi}{4}$. Также $1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$.

Следовательно, угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти, в интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $sin(x)$ возрастает, а функция $cos(x)$ убывает. В точке $x = \frac{\pi}{4}$ их значения равны: $sin(\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для всех $x$, больших $\frac{\pi}{4}$ (но меньших $\frac{\pi}{2}$), значение синуса становится больше значения косинуса. То есть, на интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ выполняется неравенство $sin(x) > cos(x)$.

Поскольку 1 радиан принадлежит этому интервалу, мы можем заключить, что $sin(1) > cos(1)$.

Ответ: $sin(1) > cos(1)$.