Номер 115, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 115, страница 293.

Условие.

Найдите область значений каждой из функций (115, 116).

115.

a) $y = 2\sqrt{x+1}$;

б) $y = 5^{2-x} - 1$;

в) $y = 2 \lg x + 1$;

г) $y = 3x^{-2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Найдём область значений функции $y = 2\sqrt{x+1}$.

1. Область определения функции задаётся условием, что выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -1$.

2. По определению, значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно: $\sqrt{x+1} \ge 0$.

3. Умножение на положительное число 2 не меняет знак неравенства, поэтому $2\sqrt{x+1} \ge 0$.

4. Таким образом, для любого $x$ из области определения функции, значение $y$ будет неотрицательным: $y \ge 0$. Поскольку функция $f(t) = 2\sqrt{t}$ непрерывна и возрастает на своей области определения $[0, \infty)$, и выражение $x+1$ принимает все значения из $[0, \infty)$ при $x \ge -1$, то и $y$ принимает все значения из $[0, \infty)$.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

б) Найдём область значений функции $y = 5^{2-x} - 1$.

1. Данная функция является преобразованием показательной функции $f(t) = 5^t$. Показатель степени $t=2-x$ может принимать любое действительное значение, так как $x$ может быть любым действительным числом.

2. Область значений показательной функции $a^t$ (где $a>0, a\neq1$) — это множество всех положительных чисел, то есть $(0, +\infty)$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $5^{2-x} > 0$.

3. Вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем: $5^{2-x} - 1 > 0 - 1$, то есть $y > -1$.

4. Так как $5^{2-x}$ может принимать любое значение из интервала $(0, +\infty)$, то $y = 5^{2-x} - 1$ может принимать любое значение из интервала $(-1, +\infty)$.

Ответ: $y \in (-1, +\infty)$.

в) Найдём область значений функции $y = 2 \lg x + 1$.

1. Данная функция является преобразованием логарифмической функции $f(x) = \lg x$ (десятичный логарифм).

2. Область значений основной логарифмической функции $g(x) = \lg x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $(-\infty, +\infty)$.

3. Умножение на 2 ($2 \lg x$) и прибавление 1 ($+1$) являются линейными преобразованиями. Применение линейного преобразования $y = k \cdot z + b$ (где $k \neq 0$) к величине $z$, которая может принимать любое действительное значение, не меняет её область значений. Результат $y$ также может принимать любое действительное значение.

4. Таким образом, область значений функции $y = 2 \lg x + 1$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty, +\infty)$.

г) Найдём область значений функции $y = 3x^{-2}$.

1. Перепишем функцию в виде дроби: $y = \frac{3}{x^2}$.

2. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

3. Рассмотрим знаменатель $x^2$. Для любого ненулевого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ будет строго положительным: $x^2 > 0$.

4. Числитель дроби равен 3 (положительное число). Знаменатель $x^2$ также положителен. Следовательно, частное $y = \frac{3}{x^2}$ всегда будет положительным: $y > 0$.

5. Проверим, все ли положительные значения может принимать $y$. Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), знаменатель $x^2$ также стремится к нулю, оставаясь положительным ($x^2 \to 0^+$), а значение дроби $y$ стремится к $+\infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to \pm\infty$), $x^2$ стремится к $+\infty$, а значение дроби $y$ стремится к 0 (но не достигает его). Таким образом, функция принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.

Ответ: $y \in (0, +\infty)$.