Номер 104, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 104, страница 292.

Условие.

104. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

a) $y = \cos 2x + \sin^2 x;$

б) $y = 1 - 4 \sin 3x;$

в) $y = \sin x - \cos x;$

г) $y = 1 + |\text{tg } x|.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \cos 2x + \sin^2 x$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$y = (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x$

Теперь применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Таким образом, функция принимает вид $y = \cos^2 x$.

Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. При возведении в квадрат любого значения из этого отрезка, результат будет находиться в отрезке $[0, 1]$.

Наименьшее значение функции $y = \cos^2 x$ равно 0 (когда $\cos x = 0$).

Наибольшее значение функции $y = \cos^2 x$ равно 1 (когда $\cos x = \pm 1$).

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно 1.

б) $y = 1 - 4 \sin 3x$

Область значений функции синус, независимо от ее аргумента, всегда находится в пределах отрезка $[-1, 1]$.

Следовательно, для $\sin 3x$ справедливо двойное неравенство: $-1 \le \sin 3x \le 1$.

Умножим все части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-4) \ge -4 \sin 3x \ge 1 \cdot (-4)$

$4 \ge -4 \sin 3x \ge -4$

Это же неравенство можно записать в более привычном виде: $-4 \le -4 \sin 3x \le 4$.

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы получить выражение для $y$:

$1 - 4 \le 1 - 4 \sin 3x \le 1 + 4$

$-3 \le y \le 5$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -3, а наибольшее равно 5.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение функции равно 5.

в) $y = \sin x - \cos x$

Для нахождения области значений выражений вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Преобразуем выражение:

$y = \sin x - \cos x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$

$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Поскольку $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, мы можем записать:

$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

Область значений функции $\sin(x - \frac{\pi}{4})$ - это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений функции $y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$ - это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\sqrt{2}$, наибольшее значение функции равно $\sqrt{2}$.

г) $y = 1 + |\tg x|$

Рассмотрим функцию $y = 1 + |\tg x|$. Область определения этой функции - все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Область значений функции $\tg x$ - это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Модуль тангенса, $|\tg x|$, принимает только неотрицательные значения. Значит, область значений функции $|\tg x|$ - это промежуток $[0, +\infty)$.

Это можно записать в виде неравенства: $|\tg x| \ge 0$.

Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим:

$1 + |\tg x| \ge 1$, то есть $y \ge 1$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 1. Это значение достигается, когда $|\tg x| = 0$, то есть при $x = k\pi$, где $k$ - любое целое число.

Поскольку значение $|\tg x|$ может быть сколь угодно большим (например, когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$), функция $y$ не ограничена сверху. Наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшего значения не существует.