Номер 104, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 104, страница 292.
№104 (с. 292)
Условие. №104 (с. 292)
скриншот условия

104. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):
a) $y = \cos 2x + \sin^2 x;$
б) $y = 1 - 4 \sin 3x;$
в) $y = \sin x - \cos x;$
г) $y = 1 + |\text{tg } x|.$
Решение 1. №104 (с. 292)

Решение 3. №104 (с. 292)

Решение 5. №104 (с. 292)
а) $y = \cos 2x + \sin^2 x$
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Подставим эту формулу в исходное уравнение:
$y = (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x$
Теперь применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
Таким образом, функция принимает вид $y = \cos^2 x$.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. При возведении в квадрат любого значения из этого отрезка, результат будет находиться в отрезке $[0, 1]$.
Наименьшее значение функции $y = \cos^2 x$ равно 0 (когда $\cos x = 0$).
Наибольшее значение функции $y = \cos^2 x$ равно 1 (когда $\cos x = \pm 1$).
Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно 1.
б) $y = 1 - 4 \sin 3x$
Область значений функции синус, независимо от ее аргумента, всегда находится в пределах отрезка $[-1, 1]$.
Следовательно, для $\sin 3x$ справедливо двойное неравенство: $-1 \le \sin 3x \le 1$.
Умножим все части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-4) \ge -4 \sin 3x \ge 1 \cdot (-4)$
$4 \ge -4 \sin 3x \ge -4$
Это же неравенство можно записать в более привычном виде: $-4 \le -4 \sin 3x \le 4$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$1 - 4 \le 1 - 4 \sin 3x \le 1 + 4$
$-3 \le y \le 5$.
Таким образом, наименьшее значение функции равно -3, а наибольшее равно 5.
Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение функции равно 5.
в) $y = \sin x - \cos x$
Для нахождения области значений выражений вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Преобразуем выражение:
$y = \sin x - \cos x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$
$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$
Поскольку $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, мы можем записать:
$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)$
Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:
$y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$
Область значений функции $\sin(x - \frac{\pi}{4})$ - это отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно, область значений функции $y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$ - это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-\sqrt{2}$, наибольшее значение функции равно $\sqrt{2}$.
г) $y = 1 + |\tg x|$
Рассмотрим функцию $y = 1 + |\tg x|$. Область определения этой функции - все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область значений функции $\tg x$ - это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.
Модуль тангенса, $|\tg x|$, принимает только неотрицательные значения. Значит, область значений функции $|\tg x|$ - это промежуток $[0, +\infty)$.
Это можно записать в виде неравенства: $|\tg x| \ge 0$.
Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим:
$1 + |\tg x| \ge 1$, то есть $y \ge 1$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно 1. Это значение достигается, когда $|\tg x| = 0$, то есть при $x = k\pi$, где $k$ - любое целое число.
Поскольку значение $|\tg x|$ может быть сколь угодно большим (например, когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$), функция $y$ не ограничена сверху. Наибольшего значения у функции не существует.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшего значения не существует.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 104 расположенного на странице 292 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №104 (с. 292), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.