Номер 101, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 101, страница 292.

Условие.

101. Какие из данных функций являются четными, какие нечетными:

a) $y = \text{tg } 3x - \text{ctg } \frac{x}{2};$

б) $y = \frac{\sin x \cos^2 x}{x};$

в) $y = \sin \frac{x^3 - x}{x^2 - 1};$

г) $y = \frac{\sin x}{x} - \cos x?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для определения четности или нечетности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).
2. Должно выполняться одно из равенств для всех $x$ из области определения:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

а) $y = \tan(3x) - \cot(\frac{x}{2})$

Пусть $f(x) = \tan(3x) - \cot(\frac{x}{2})$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Функция $\tan(3x)$ определена при $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$. Функция $\cot(\frac{x}{2})$ определена при $\frac{x}{2} \neq \pi n$, то есть $x \neq 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Область определения является симметричной относительно нуля, так как если $x$ не равен этим значениям, то и $-x$ им не равен.

2. Найдем $f(-x)$. Используем свойства нечетности функций тангенса и котангенса: $\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$ и $\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$.

$f(-x) = \tan(3(-x)) - \cot(\frac{-x}{2}) = \tan(-3x) - \cot(-\frac{x}{2}) = -\tan(3x) - (-\cot(\frac{x}{2})) = -\tan(3x) + \cot(\frac{x}{2})$.

Сравним полученное выражение с $-f(x)$:

$-f(x) = -(\tan(3x) - \cot(\frac{x}{2})) = -\tan(3x) + \cot(\frac{x}{2})$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $y = \frac{\sin(x) \cos^2(x)}{x}$

Пусть $f(x) = \frac{\sin(x) \cos^2(x)}{x}$.

1. Область определения $D(f)$: $x \neq 0$. Эта область $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$.

$f(-x) = \frac{\sin(-x) \cos^2(-x)}{-x} = \frac{-\sin(x) (\cos(x))^2}{-x} = \frac{-\sin(x) \cos^2(x)}{-x} = \frac{\sin(x) \cos^2(x)}{x}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

в) $y = \sin(\frac{x^3 - x}{x^2 - 1})$

Пусть $f(x) = \sin(\frac{x^3 - x}{x^2 - 1})$.

1. Область определения $D(f)$: знаменатель дроби под знаком синуса не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители:

$\frac{x^3 - x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$.

При $x \neq \pm 1$ можно сократить дробь: $\frac{x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = x$.

Таким образом, на всей области определения функция совпадает с функцией $y = \sin(x)$. То есть $f(x) = \sin(x)$ при $x \neq \pm 1$.

3. Проверим функцию на четность, учитывая ее область определения.

$f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

г) $y = \frac{\sin(x)}{x} - \cos(x)$

Пусть $f(x) = \frac{\sin(x)}{x} - \cos(x)$.

1. Область определения $D(f)$: из-за наличия дроби $\frac{\sin(x)}{x}$ имеем $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$.

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} - \cos(-x)$.

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin(x)$ и $\cos(-x) = \cos(x)$.

$f(-x) = \frac{-\sin(x)}{-x} - \cos(x) = \frac{\sin(x)}{x} - \cos(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это также следует из того, что функция представляет собой разность двух четных функций: $g(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ (является четной, так как это частное двух нечетных функций) и $h(x)=\cos(x)$ (четная функция).

Ответ: четная.