Номер 123, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 123, страница 294.

Условие.

123. а) $y = 5^{\log_5 (x-1)}$;

б) $y = \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right| - 1$;

в) $y = 2^{|x|}$;

г) $y = \log_2 x^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = 5^{\log_5 (x-1)}$

Для решения воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$, которое справедливо при $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$.

В данном случае $a=5$ и $b=x-1$. Прежде чем применять тождество, найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x - 1 > 0$ $x > 1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (1; +\infty)$.

Теперь, с учетом ОДЗ, мы можем упростить исходное выражение: $y = 5^{\log_5 (x-1)} = x - 1$

Итак, функция представляет собой прямую $y = x - 1$, но определенную только для $x > 1$. Графиком является луч, который начинается в точке $(1, 0)$ (точка выколота, так как неравенство $x > 1$ строгое) и идет вверх под углом 45 градусов к оси Ох.

Область значений функции: так как $x > 1$, то $y = x - 1 > 1 - 1 = 0$. Следовательно, $E(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x-1$ с выколотой начальной точкой $(1, 0)$, область определения $x \in (1; +\infty)$.

б) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x| - 1$

Построим график этой функции путем последовательных преобразований.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Такая функция является убывающей. Область определения: $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

2. Далее строим график функции $y_2 = |y_1| = |\log_{\frac{1}{2}} x|$. Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика, которая находится ниже оси Ох (где $y_1 < 0$), симметрично отражается относительно этой оси, а часть графика, которая находится выше или на оси Ох, остается без изменений.

• Для $0 < x \leq 1$, имеем $\log_{\frac{1}{2}} x \ge 0$, поэтому $|\log_{\frac{1}{2}} x| = \log_{\frac{1}{2}} x$.
• Для $x > 1$, имеем $\log_{\frac{1}{2}} x < 0$, поэтому $|\log_{\frac{1}{2}} x| = -\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{(\frac{1}{2})^{-1}} x = \log_2 x$.

График $y_2$ будет состоять из двух ветвей, сходящихся в точке $(1, 0)$.

3. Наконец, строим график искомой функции $y = y_2 - 1 = |\log_{\frac{1}{2}} x| - 1$. Это преобразование сдвигает весь график функции $y_2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Оу.

В результате точка минимума $(1, 0)$ переместится в точку $(1, -1)$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохранится. Область определения остается $x > 0$. Область значений функции: $y \ge -1$, то есть $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ путем отражения его части при $x>1$ относительно оси Ох и последующего сдвига всего графика на 1 единицу вниз. Минимальное значение функции равно -1 и достигается в точке $x=1$.

в) $y = 2^{|x|}$

Для построения графика этой функции рассмотрим два случая, исходя из определения модуля.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2^x$. Это стандартная показательная функция с основанием больше 1, она возрастает.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция с основанием меньше 1, она убывает.

Таким образом, итоговый график состоит из двух частей:

• справа от оси Оу (для $x \ge 0$) он совпадает с графиком $y = 2^x$;
• слева от оси Оу (для $x < 0$) он совпадает с графиком $y = (\frac{1}{2})^x$.

Обе части "стыкуются" в точке $(0, 1)$, так как $2^{|0|} = 2^0 = 1$.

Также можно заметить, что функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Оу. Поэтому можно построить график $y=2^x$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Оу.

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: так как $|x| \ge 0$, то $y = 2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Следовательно, $E(y) = [1; +\infty)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Оу. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = 2^x$, а при $x < 0$ — с графиком $y = (\frac{1}{2})^x$. Минимальное значение функции равно 1 и достигается в точке $x=0$.

г) $y = \log_2 x^2$

Сначала найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 > 0$

Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь преобразуем функцию, используя свойство логарифма степени: $\log_a (b^p) = p \log_a |b|$. Важно использовать модуль, так как исходная функция определена и для отрицательных $x$. $y = \log_2 (x^2) = 2 \log_2 |x|$

Функция $y = 2 \log_2 |x|$ является четной, так как $y(-x) = 2 \log_2 |-x| = 2 \log_2 |x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Оу.

Для построения графика достаточно построить его для $x > 0$ и затем отразить симметрично относительно оси Оу. При $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2 \log_2 x$. Это график функции $y = \log_2 x$, растянутый в 2 раза вдоль оси Оу. Он проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Отражая эту часть графика относительно оси Оу, получаем вторую ветвь для $x < 0$. Она будет проходить через точку $(-1, 0)$ и также иметь асимптоту $x=0$.

Область определения: $x \ne 0$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Функция эквивалентна $y = 2 \log_2 |x|$. Ее график состоит из двух симметричных относительно оси Оу ветвей. При $x > 0$ график совпадает с графиком $y = 2 \log_2 x$. Область определения $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.