Номер 126, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 126, страница 295.

Условие.

126. Решите графически неравенство:

a) $log_{\frac{1}{2}} x > x - 3$

б) $\sqrt{x-2} \le \frac{3}{x}$

в) $2^{-|x|} \ge x^2 + 1$

г) $log_{\frac{1}{3}} x > 2x - 7$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x > x - 3$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x - 3$.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифмическая кривая. Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, функция является убывающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

2. График функции $y_2 = x - 3$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и пересекающая ось OY в точке $(0, -3)$. Она проходит, например, через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ расположен выше графика функции $y_2 = x - 3$.

Найдем точку пересечения графиков. Подбором легко найти, что при $x=2$ значения функций совпадают:
$y_1(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$
$y_2(2) = 2 - 3 = -1$
Следовательно, графики пересекаются в точке $(2, -1)$.

Поскольку логарифмическая функция убывает, а линейная возрастает, это их единственная точка пересечения. Из графика видно, что кривая $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ находится выше прямой $y_2 = x - 3$ на интервале слева от точки пересечения. Учитывая область определения логарифма ($x > 0$), получаем интервал от 0 до 2. Так как неравенство строгое, точка $x=2$ не включается в решение.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

б) Чтобы решить неравенство $\sqrt{x-2} \le \frac{3}{x}$ графически, определим сначала область допустимых значений (ОДЗ).
Условие для корня: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Условие для дроби: $x \ne 0$.
Итоговая ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$.

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \sqrt{x-2}$ и $y_2 = \frac{3}{x}$ для $x \ge 2$.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x-2}$ — это верхняя ветвь параболы $y^2=x-2$, смещенной на 2 единицы вправо. График начинается в точке $(2, 0)$ и является возрастающей функцией. Проходит через точки $(3, 1)$, $(6, 2)$.

2. График функции $y_2 = \frac{3}{x}$ — это гипербола. Так как нас интересует область $x \ge 2$, мы рассматриваем только ее правую ветвь, которая является убывающей функцией. Проходит через точки $(1, 3)$, $(2, 1.5)$, $(3, 1)$.

Решением неравенства будут те значения $x$ из ОДЗ, при которых график функции $y_1 = \sqrt{x-2}$ расположен не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $y_2 = \frac{3}{x}$.

Найдем точку пересечения графиков. При $x=3$:
$y_1(3) = \sqrt{3-2} = 1$
$y_2(3) = \frac{3}{3} = 1$
Графики пересекаются в точке $(3, 1)$.

Так как на ОДЗ функция $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, точка пересечения единственная. На интервале от 2 до 3 (включая концы) график $y_1 = \sqrt{x-2}$ находится ниже или на том же уровне, что и график $y_2 = \frac{3}{x}$.

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) Решим неравенство $2^{-|x|} \ge x^2 + 1$ графически. Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 2^{-|x|}$ и $y_2 = x^2 + 1$.

1. Функция $y_1 = 2^{-|x|}$ является четной, т.к. $y_1(-x) = 2^{-|-x|} = 2^{-|x|} = y_1(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. При $x \ge 0$ имеем $y=2^{-x}$, а при $x < 0$ имеем $y=2^x$. Максимальное значение функции достигается при $x=0$, $y_1(0) = 2^0 = 1$.

2. Функция $y_2 = x^2 + 1$ также является четной. Ее график — парабола, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y_1 = 2^{-|x|}$ расположен не ниже (то есть выше или на одном уровне) графика функции $y_2 = x^2 + 1$.

Найдем точку(и) пересечения. При $x=0$:
$y_1(0) = 2^{-|0|} = 1$
$y_2(0) = 0^2 + 1 = 1$
Графики пересекаются (касаются) в точке $(0, 1)$.

Рассмотрим значения функций при $x \ne 0$.
Для $y_1=2^{-|x|}$: при любом $x \ne 0$, $|x| > 0$, поэтому $2^{-|x|} < 2^0 = 1$.
Для $y_2=x^2+1$: при любом $x \ne 0$, $x^2 > 0$, поэтому $x^2+1 > 1$.
Следовательно, для всех $x \ne 0$ выполняется строгое неравенство $2^{-|x|} < x^2+1$.
Таким образом, исходное неравенство $2^{-|x|} \ge x^2+1$ выполняется только в одной точке, где достигается равенство.

Ответ: $x = 0$.

г) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > 2x - 7$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2 = 2x - 7$.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это убывающая логарифмическая кривая. Область определения: $x > 0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(9, -2)$. Вертикальная асимптота — ось OY ($x=0$).

2. График функции $y_2 = 2x - 7$ — это прямая линия, которая является возрастающей (угловой коэффициент 2). Проходит через точки $(3, -1)$ и $(3.5, 0)$.

Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ находится выше графика функции $y_2 = 2x - 7$.

Найдем точку пересечения графиков. Проверим точку $x=3$:
$y_1(3) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$
$y_2(3) = 2 \cdot 3 - 7 = 6 - 7 = -1$
Графики пересекаются в точке $(3, -1)$.

Так как убывающая логарифмическая функция и возрастающая линейная функция могут пересечься только один раз, это их единственная общая точка. Из графика видно, что левее точки пересечения ($x < 3$) график логарифма находится выше прямой. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение. Неравенство строгое, поэтому точка $x=3$ в решение не входит.

Ответ: $x \in (0; 3)$.