Номер 131, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 131, страница 295.

Условие.

131. а) $\frac{3x+1}{5} = 2 - \frac{4(x-3)}{15};$

б) $\left|\frac{x-3}{2} + 5\right| = 4;$

в) $1 - \frac{x-3}{2} = x - \frac{3(5-2x)}{7};$

г) $\left|1 - \frac{x+2}{3}\right| = 5.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим уравнение $\frac{3x+1}{5} = 2 - \frac{4(x-3)}{15}$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15, то есть на 15:

$15 \cdot \frac{3x+1}{5} = 15 \cdot 2 - 15 \cdot \frac{4(x-3)}{15}$

$3(3x+1) = 30 - 4(x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$9x + 3 = 30 - 4x + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$9x + 3 = 42 - 4x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую, меняя знаки на противоположные:

$9x + 4x = 42 - 3$

$13x = 39$

Разделим обе части на 13, чтобы найти $x$:

$x = \frac{39}{13}$

$x = 3$

Ответ: $3$

б) Решим уравнение $|\frac{x-3}{2} + 5| = 4$.

Сначала упростим выражение под знаком модуля, приведя слагаемые к общему знаменателю:

$|\frac{x-3}{2} + \frac{10}{2}| = 4$

$|\frac{x-3+10}{2}| = 4$

$|\frac{x+7}{2}| = 4$

Уравнение с модулем вида $|A|=B$ (где $B \ge 0$) распадается на два уравнения: $A=B$ и $A=-B$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x+7}{2} = 4$

Умножим обе части на 2:

$x+7 = 8$

$x = 8-7$

$x_1 = 1$

2) $\frac{x+7}{2} = -4$

Умножим обе части на 2:

$x+7 = -8$

$x = -8-7$

$x_2 = -15$

Ответ: $-15; 1$

в) Решим уравнение $1 - \frac{x-3}{2} = x - \frac{3(5-2x)}{7}$.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 7, то есть на 14:

$14 \cdot 1 - 14 \cdot \frac{x-3}{2} = 14 \cdot x - 14 \cdot \frac{3(5-2x)}{7}$

$14 - 7(x-3) = 14x - 2 \cdot 3(5-2x)$

Раскроем скобки:

$14 - 7x + 21 = 14x - 6(5-2x)$

$14 - 7x + 21 = 14x - 30 + 12x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$35 - 7x = 26x - 30$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую:

$35 + 30 = 26x + 7x$

$65 = 33x$

Найдем $x$:

$x = \frac{65}{33}$

Ответ: $\frac{65}{33}$

г) Решим уравнение $|1 - \frac{x+2}{3}| = 5$.

Упростим выражение под знаком модуля:

$|\frac{3}{3} - \frac{x+2}{3}| = 5$

$|\frac{3 - (x+2)}{3}| = 5$

$|\frac{3 - x - 2}{3}| = 5$

$|\frac{1 - x}{3}| = 5$

Уравнение распадается на два случая:

1) $\frac{1-x}{3} = 5$

Умножим обе части на 3:

$1-x = 15$

$-x = 15 - 1$

$-x = 14$

$x_1 = -14$

2) $\frac{1-x}{3} = -5$

Умножим обе части на 3:

$1-x = -15$

$-x = -15 - 1$

$-x = -16$

$x_2 = 16$

Ответ: $-14; 16$