Номер 135, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 135, страница 296.

Условие.

135. a) $\frac{|2x-3|}{x} > 0;$

б) $\frac{x+2}{|x+4|} \le 0;$

в) $(x-4)|5-3x| < 0;$

г) $|2x+7|(3-x) \le 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Рассмотрим неравенство $\frac{|2x-3|}{x} > 0$.

Выражение в числителе $|2x-3|$ является модулем, поэтому оно всегда неотрицательно: $|2x-3| \ge 0$. Дробь будет строго положительной, если ее числитель и знаменатель одного знака. Поскольку числитель не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а значит, и знаменатель должен быть строго положительным.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |2x-3| > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $|2x-3| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме случая $2x-3=0$, то есть $x=1.5$. Значит, $x \ne 1.5$.

Второе неравенство: $x > 0$.

Объединяя оба условия ($x > 0$ и $x \ne 1.5$), получаем искомое множество решений. Это все числа больше нуля, за исключением $1.5$.

Ответ: $x \in (0; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{x+2}{|x+4|} \le 0$.

Выражение в знаменателе $|x+4|$ является модулем, поэтому оно всегда неотрицательно. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $|x+4| \ne 0$, что означает $x+4 \ne 0$, или $x \ne -4$.

При $x \ne -4$ знаменатель $|x+4|$ всегда строго положителен. Знак дроби в этом случае определяется знаком числителя $x+2$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x+2 \le 0 \\ x \ne -4 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le -2$.

Учитывая второе условие, мы должны исключить точку $x=-4$ из промежутка $(-\infty; -2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -2]$

в)

Рассмотрим неравенство $(x-4)|5-3x| < 0$.

Множитель $|5-3x|$ всегда неотрицателен: $|5-3x| \ge 0$. Чтобы произведение было строго отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Поскольку $|5-3x|$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а множитель $(x-4)$ — строго отрицательным.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} |5-3x| > 0 \\ x-4 < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $|5-3x| > 0$ выполняется всегда, кроме случая $5-3x=0$, то есть $x = \frac{5}{3}$. Следовательно, $x \ne \frac{5}{3}$.

2. $x-4 < 0$ выполняется при $x < 4$.

Объединяя решения, получаем $x < 4$ и $x \ne \frac{5}{3}$. Так как точка $\frac{5}{3}$ лежит внутри интервала $(-\infty; 4)$, ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; 4)$

г)

Рассмотрим неравенство $|2x+7|(3-x) \le 0$.

Множитель $|2x+7|$ всегда неотрицателен: $|2x+7| \ge 0$. Неравенство является нестрогим, поэтому его решение включает случаи, когда произведение равно нулю или отрицательно.

1. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$|2x+7| = 0 \implies 2x+7=0 \implies x = -3.5$.

$3-x = 0 \implies x = 3$.

Таким образом, $x=-3.5$ и $x=3$ являются решениями.

2. Произведение отрицательно. Поскольку $|2x+7|$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а второй множитель $(3-x)$ — отрицательным.

$\begin{cases} |2x+7| > 0 \\ 3-x < 0 \end{cases}$

Первое неравенство $|2x+7|>0$ выполняется при $x \ne -3.5$.

Второе неравенство $3-x<0$ выполняется при $x > 3$.

Решением этой системы является интервал $(3; +\infty)$.

Объединяем все найденные решения: точка $x=-3.5$, точка $x=3$ и интервал $(3; +\infty)$. Объединение точки $x=3$ и интервала $(3; +\infty)$ дает луч $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in \{-3.5\} \cup [3; +\infty)$