Номер 141, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 141, страница 296.

Условие.

141. a) $ \frac{4}{x^2+4} + \frac{5}{x^2+5} = 2; $

б) $ 2x^4 - 5x^2 + 2 = 0; $

в) $ \left(\frac{x-1}{x}\right)^2 - 3\left(\frac{x-1}{x}\right) + 2 = 0; $

г) $ \frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2,5. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\frac{4}{x^2+4} + \frac{5}{x^2+5} = 2$
Это уравнение можно решить с помощью введения новой переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Знаменатели $x^2+4$ и $x^2+5$ всегда положительны и не равны нулю.
Подставим $y$ в уравнение:
$\frac{4}{y+4} + \frac{5}{y+5} = 2$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y+4)(y+5)$:
$\frac{4(y+5) + 5(y+4)}{(y+4)(y+5)} = 2$
$4(y+5) + 5(y+4) = 2(y+4)(y+5)$
Раскроем скобки и упростим:
$4y + 20 + 5y + 20 = 2(y^2 + 5y + 4y + 20)$
$9y + 40 = 2(y^2 + 9y + 20)$
$9y + 40 = 2y^2 + 18y + 40$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2y^2 + 18y - 9y + 40 - 40 = 0$
$2y^2 + 9y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(2y + 9) = 0$
Это дает два возможных решения для $y$:
$y_1 = 0$ или $2y_2 + 9 = 0 \implies y_2 = -4.5$
Теперь выполним обратную замену $y = x^2$.
1) Если $y_1 = 0$, то $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) Если $y_2 = -4.5$, то $x^2 = -4.5$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственным решением является $x=0$.
Проверка: $\frac{4}{0^2+4} + \frac{5}{0^2+5} = \frac{4}{4} + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: $0$.

б) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$
Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба значения $y$ положительны, поэтому удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену $x^2 = y$.
1) $x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.
2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $(\frac{x-1}{x})^2 - 3(\frac{x-1}{x}) + 2 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ne 0$.
Введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = \frac{x-1}{x}$.
Уравнение примет вид:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни легко находятся:
$y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.
Выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
1) $\frac{x-1}{x} = 1$
$x - 1 = x$
$-1 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
2) $\frac{x-1}{x} = 2$
$x - 1 = 2x$
$2x - x = -1$
$x = -1$
Найденный корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).
Проверка: При $x=-1$, выражение $\frac{x-1}{x} = \frac{-1-1}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$. Подставляем в исходное уравнение: $2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Равенство выполняется.
Ответ: $-1$.

г) $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2.5$
ОДЗ: $x \ne 0$. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любом действительном $x$.
Заметим, что дроби в левой части уравнения являются взаимно обратными. Введем замену. Пусть $y = \frac{x^2+1}{x}$.
Тогда $\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид:
$y + \frac{1}{y} = 2.5$
Представим 2.5 в виде обыкновенной дроби: $2.5 = \frac{5}{2}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$
Умножим обе части уравнения на $2y$ (мы знаем, что $y \ne 0$, так как $x^2+1 \ne 0$):
$2y^2 + 2 = 5y$
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте б). Его корни:
$y_1 = 2$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену.
1) $\frac{x^2+1}{x} = 2$
$x^2 + 1 = 2x$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x-1)^2 = 0$
$x-1 = 0 \implies x = 1$.
2) $\frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{2}$
$2(x^2 + 1) = x$
$2x^2 + 2 = x$
$2x^2 - x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным решением является $x = 1$.
Проверка: $\frac{1^2+1}{1} + \frac{1}{1^2+1} = \frac{2}{1} + \frac{1}{2} = 2 + 0.5 = 2.5$. Равенство выполняется.
Ответ: $1$.