Номер 139, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 139, страница 296.

Условие.

139. Не решая уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$, найдите:

а) сумму его корней;

б) произведение его корней;

в) сумму квадратов его корней;

г) сумму кубов его корней.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, которая позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не вычисляя сами корни.

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ теорема Виета утверждает, что:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$

В заданном уравнении $3x^2 - 5x - 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$.

а) сумму его корней

Используя формулу для суммы корней из теоремы Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = -b/a = -(-5)/3 = 5/3$.

Ответ: $5/3$.

б) произведение его корней

Используя формулу для произведения корней из теоремы Виета, получаем:

$x_1 \cdot x_2 = c/a = -2/3$.

Ответ: $-2/3$.

в) сумму квадратов его корней

Чтобы найти сумму квадратов корней ($x_1^2 + x_2^2$), мы можем выразить ее через сумму и произведение корней, которые уже известны. Для этого воспользуемся тождеством:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим ранее найденные значения $x_1 + x_2 = 5/3$ и $x_1 \cdot x_2 = -2/3$:

$x_1^2 + x_2^2 = (5/3)^2 - 2 \cdot (-2/3) = 25/9 + 4/3$.

Приведем дроби к общему знаменателю 9:

$25/9 + 12/9 = 37/9$.

Ответ: $37/9$.

г) сумму кубов его корней

Для нахождения суммы кубов корней ($x_1^3 + x_2^3$) воспользуемся соответствующим тождеством, которое также выражается через сумму и произведение корней:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 5/3$ и $x_1 \cdot x_2 = -2/3$:

$x_1^3 + x_2^3 = (5/3)^3 - 3 \cdot (-2/3) \cdot (5/3) = 125/27 - (-2) \cdot (5/3) = 125/27 + 10/3$.

Приведем дроби к общему знаменателю 27:

$125/27 + 90/27 = (125 + 90)/27 = 215/27$.

Ответ: $215/27$.