Номер 152, страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 152, страница 298.

Условие.

Решите уравнения (152—158).

152. a) $ \cos x + 2 \cos 2x = 1; $

б) $ 4 \sin 2x - 3 \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 5; $

в) $ 2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3 \sin^2 x; $

г) $ \cos^2 x + 4 \sin^2 x = 2 \sin 2x. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходное уравнение: $cos x + 2 cos 2x = 1$.

Чтобы свести уравнение к одной функции, используем формулу косинуса двойного угла: $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$cos x + 2(2 cos^2 x - 1) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cos x + 4 cos^2 x - 2 = 1$

$4 cos^2 x + cos x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = cos x$. Так как область значений косинуса от $-1$ до $1$, то $|t| \le 1$.

$4t^2 + t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Теперь вернемся к замене:

1. $cos x = t_1 = -1$

Это частный случай, решение которого: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $cos x = t_2 = \frac{3}{4}$

Общее решение для этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $x = \pm \arccos\frac{3}{4} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $4 \sin 2x - 3 \sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = 5$.

Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)$

Подставим это в исходное уравнение:

$4 \sin 2x - 3\left(\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right) = 5$

$4 \sin 2x - \frac{3}{2}\sin 2x + \frac{3\sqrt{3}}{2}\cos 2x = 5$

$\frac{5}{2}\sin 2x + \frac{3\sqrt{3}}{2}\cos 2x = 5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$5\sin 2x + 3\sqrt{3}\cos 2x = 10$

Мы получили уравнение вида $a\sin y + b\cos y = c$, где $y=2x$, $a=5$, $b=3\sqrt{3}$, $c=10$.

Уравнение такого вида имеет решения только если выполняется условие $c^2 \le a^2 + b^2$. Проверим это условие:

$a^2 + b^2 = 5^2 + (3\sqrt{3})^2 = 25 + 9 \cdot 3 = 25 + 27 = 52$.

$c^2 = 10^2 = 100$.

Так как $100 > 52$, то есть $c^2 > a^2+b^2$, данное уравнение не имеет решений. Левая часть уравнения не может принимать значение, равное 10, так как ее максимальное значение равно $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{52} \approx 7.21$.

Ответ: решений нет.

в) Исходное уравнение: $2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3 \sin^2 x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в уравнение, чтобы свести его к одной функции $cos x$:

$2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3(1 - \cos^2 x)$

$2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3 - 3 \cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$5 \cos^2 x + 4 \cos x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$5t^2 + 4t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 16 + 60 = 76$

$\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$

$t_1 = \frac{-4 - 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-2 - \sqrt{19}}{5}$

$t_2 = \frac{-4 + 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-2 + \sqrt{19}}{5}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.

Для $t_1$: так как $\sqrt{19} > \sqrt{9} = 3$, то $-2 - \sqrt{19} < -5$, и $\frac{-2 - \sqrt{19}}{5} < -1$. Этот корень не подходит.

Для $t_2$: так как $4 < \sqrt{19} < 5$, то $2 < -2 + \sqrt{19} < 3$. Значит, $\frac{2}{5} < \frac{-2 + \sqrt{19}}{5} < \frac{3}{5}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t_2| \le 1$.

Возвращаемся к замене:

$\cos x = \frac{-2 + \sqrt{19}}{5}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{19}}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-2}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\cos^2 x + 4 \sin^2 x = 2 \sin 2x$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2 x + 4 \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x) + 3\sin^2 x = 1 + 3\sin^2 x$.

Используем формулу синуса двойного угла для правой части: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Уравнение принимает вид:

$1 + 3\sin^2 x = 2(2\sin x \cos x)$

$1 + 3\sin^2 x = 4\sin x \cos x$

Заменим 1 на $\sin^2 x + \cos^2 x$:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x = 0$

$4\sin^2 x - 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $4(\pm 1)^2 - 0 + 0 = 4 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$4\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(2\tan x - 1)^2 = 0$

$2\tan x - 1 = 0$

$\tan x = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\frac{1}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.