Номер 155, страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 155, страница 298.

Условие.

155. а) $\cos 2x - \cos 6x = 0;$

в) $\sin x + \sin 3x = 0;$

б) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0;$

г) $\cos \left(\frac{\pi}{2} + 5x\right) + \sin x = 2 \cos 3x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $ \cos 2x - \cos 6x = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ -2 \sin\frac{2x+6x}{2} \sin\frac{2x-6x}{2} = 0 $

$ -2 \sin(4x) \sin(-2x) = 0 $

Так как функция синус является нечетной ($ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $), получаем:

$ 2 \sin(4x) \sin(2x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin(4x) = 0 $

$ 4x = \pi n $, где $ n \in Z $ (Z - множество целых чисел)

$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $

2) $ \sin(2x) = 0 $

$ 2x = \pi k $, где $ k \in Z $

$ x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z $

Заметим, что вторая серия решений ($ x = \frac{\pi k}{2} $) является подмножеством первой ($ x = \frac{\pi n}{4} $), так как любое решение из второй серии можно получить из первой, взяв $ n = 2k $. Следовательно, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $

б) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0 $

$ 2 \sin\frac{x+3x}{2} \cos\frac{x-3x}{2} + \sin 2x = 0 $

$ 2 \sin(2x) \cos(-x) + \sin 2x = 0 $

Так как функция косинус является четной ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем:

$ 2 \sin(2x) \cos x + \sin 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (2 \cos x + 1) = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

2) $ 2 \cos x + 1 = 0 $

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in Z $

в) $ \sin x + \sin 3x = 0 $

Используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{x+3x}{2} \cos\frac{x-3x}{2} = 0 $

$ 2 \sin(2x) \cos(-x) = 0 $

$ 2 \sin(2x) \cos x = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

2) $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $

Серия решений $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi(1+2k)}{2} $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi n}{2} $ (при нечетных $ n $). Таким образом, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

г) $ \cos(\frac{\pi}{2} + 5x) + \sin x = 2 \cos 3x $

Применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha $ к первому слагаемому:

$ -\sin 5x + \sin x = 2 \cos 3x $

Перепишем левую часть: $ \sin x - \sin 5x = 2 \cos 3x $.

Используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{x-5x}{2} \cos\frac{x+5x}{2} = 2 \cos 3x $

$ 2 \sin(-2x) \cos(3x) = 2 \cos 3x $

$ -2 \sin(2x) \cos(3x) = 2 \cos 3x $

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2:

$ \cos(3x) + \sin(2x) \cos(3x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos 3x $ за скобки:

$ \cos 3x (1 + \sin 2x) = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $

2) $ 1 + \sin 2x = 0 $

$ \sin 2x = -1 $

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in Z $