Страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

143. а) $\frac{(x-1)(x-2)}{x-3} \geq 0;$

б) $\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8} \leq 0;$

В) $\frac{x-2}{(x-3)(x-5)} < 0;$

г) $\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6} > 0.$

а)

Решим неравенство $ \frac{(x-1)(x-2)}{x-3} \ge 0 $ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)(x-2) = 0$, откуда $x_1=1$, $x_2=2$. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), эти точки включаются в решение и на числовой оси отмечаются закрашенными кружками.

Нуль знаменателя: $x-3 = 0$, откуда $x_3=3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда исключается из решения и на числовой оси отмечается выколотым (пустым) кружком.

2. Отметим точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; 1]$, $[1; 2]$, $[2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=4$:
$ \frac{(4-1)(4-2)}{4-3} = \frac{3 \cdot 2}{1} = 6 > 0 $. Значит, в интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечётную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться.

- Интервал $(3; +\infty)$: +
- Интервал $(2; 3)$: -
- Интервал $(1; 2)$: +
- Интервал $(-\infty; 1)$: -

3. Выберем интервалы, удовлетворяющие условию $ \ge 0 $. Это интервалы со знаком "+" и включённые в решение нули числителя.

Получаем объединение: $[1; 2] \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [1; 2] \cup (3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8} \le 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2+2x-3$. Найдём корни уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, $x_1=1$, $x_2=-3$.
Таким образом, $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$.

Знаменатель: $x^2-2x+8$. Найдём дискриминант уравнения $x^2-2x+8=0$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трёхчлен $x^2-2x+8$ положителен при любых значениях $x$.

2. Упростим неравенство.

Так как знаменатель $x^2-2x+8$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства. Исходное неравенство равносильно неравенству:

$(x-1)(x+3) \le 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов.

Корни: $x=1$ и $x=-3$. Отметим их на числовой оси закрашенными кружками. Они разбивают ось на три интервала. Графиком функции $y=(x-1)(x+3)$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции неположительны ($ \le 0 $) между корнями.

Решением является отрезок $[-3; 1]$.

Ответ: $x \in [-3; 1]$.

в)

Решим неравенство $ \frac{x-2}{(x-3)(x-5)} < 0 $ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x-2 = 0$, откуда $x_1=2$.
Нули знаменателя: $(x-3)(x-5)=0$, откуда $x_2=3$, $x_3=5$.

Так как неравенство строгое ($ < $), все точки будут выколотыми.

2. Отметим точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; 5)$, $(5; +\infty)$.

Возьмём пробную точку $x=6$:
$ \frac{6-2}{(6-3)(6-5)} = \frac{4}{3 \cdot 1} > 0$. В крайнем правом интервале знак "+".

Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знаки чередуются:

- Интервал $(5; +\infty)$: +
- Интервал $(3; 5)$: -
- Интервал $(2; 3)$: +
- Интервал $(-\infty; 2)$: -

3. Выберем интервалы, удовлетворяющие условию $ < 0 $. Это интервалы со знаком "-".

Получаем объединение: $(-\infty; 2) \cup (3; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; 5)$.

г)

Решим неравенство $ \frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6} > 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2+5x+4=0$. По теореме Виета, корни $x_1=-1$, $x_2=-4$.
$x^2+5x+4 = (x+1)(x+4)$.

Знаменатель: $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=6$, $x_2=-1$.
$x^2-5x-6 = (x-6)(x+1)$.

2. Перепишем неравенство в виде:

$ \frac{(x+1)(x+4)}{(x-6)(x+1)} > 0 $

3. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne 6$ и $x \ne -1$.

При $x \ne -1$ можно сократить дробь на $(x+1)$:

$ \frac{x+4}{x-6} > 0 $

4. Решим полученное простое неравенство методом интервалов.

Нули: $x=-4$ и $x=6$. Отметим их на числовой оси выколотыми точками. Они разбивают ось на три интервала.

- Интервал $(6; +\infty)$: при $x=7$ имеем $\frac{7+4}{7-6} = 11 > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-4; 6)$: знак "-".
- Интервал $(-\infty; -4)$: знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "+": $(-\infty; -4) \cup (6; +\infty)$.

5. Учтём ОДЗ. Точка $x=-1$ не входит в найденное решение, поэтому оно остаётся без изменений.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (6; +\infty)$.

144. а) $(x - 1) (x + 2) (x - 3) (x - 4) \le 0;$

б) $x^4 - 3x^2 + 2 \le 0;$

в) $\frac{4 - x}{x - 5} > \frac{1}{1 - x};$

г) $1 + \frac{12}{x^2} < \frac{7}{x}.$

а) Решим неравенство $(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4) \le 0$ методом интервалов.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения: $(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на пять интервалов: $(-\infty, -2]$, $[-2, 1]$, $[1, 3]$, $[3, 4]$, $[4, +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале.
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $(5-1)(5+2)(5-3)(5-4) = 4 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
- При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $(3.5-1)(3.5+2)(3.5-3)(3.5-4) = 2.5 \cdot 5.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) < 0$. Знак «-».
- При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $(2-1)(2+2)(2-3)(2-4) = 1 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-2) > 0$. Знак «+».
- При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $(-1)(2)(-3)(-4) < 0$. Знак «-».
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3-1)(-3+2)(-3-3)(-3-4) = (-4) \cdot (-1) \cdot (-6) \cdot (-7) > 0$. Знак «+».
Знаки на интервалах чередуются: +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», включая концы, так как неравенство нестрогое.
Таким образом, решение: $[-2, 1] \cup [3, 4]$.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup [3, 4]$.

б) Решим биквадратное неравенство $x^4 - 3x^2 + 2 \le 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Неравенство принимает вид: $t^2 - 3t + 2 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.
Парабола $y = t^2 - 3t + 2$ ветвями вверх, поэтому она принимает значения меньше или равные нулю между корнями.
Решение для $t$: $1 \le t \le 2$. Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$: $1 \le x^2 \le 2$.
Это двойное неравенство можно разбить на систему:
$\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 2 \end{cases}$
Решаем первое неравенство: $x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.
Решаем второе неравенство: $x^2 - 2 \le 0 \Rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \le 0$. Решение: $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Найдем пересечение решений: $( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) ) \cap [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Пересечение дает нам два интервала: $[-\sqrt{2}, -1]$ и $[1, \sqrt{2}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2}]$.

в) Решим дробно-рациональное неравенство $\frac{4-x}{x-5} > \frac{1}{1-x}$.
Перенесем все члены в левую часть: $\frac{4-x}{x-5} - \frac{1}{1-x} > 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-5 \neq 0$ и $1-x \neq 0$, то есть $x \neq 5$ и $x \neq 1$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{(4-x)(1-x) - 1(x-5)}{(x-5)(1-x)} > 0$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{4 - 4x - x + x^2 - x + 5}{(x-5)(1-x)} > 0$.
Упростим числитель: $\frac{x^2 - 6x + 9}{(x-5)(1-x)} > 0$.
Заметим, что числитель является полным квадратом: $\frac{(x-3)^2}{(x-5)(1-x)} > 0$.
Числитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=3$ и положителен при $x \neq 3$.
Поскольку неравенство строгое ($>0$), то $x \neq 3$.
При $x \neq 3$ числитель положителен, значит, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен: $(x-5)(1-x) > 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $(x-5)(x-1) < 0$.
Корни $x=1$ и $x=5$. Парабола ветвями вверх, значит, она отрицательна между корнями.
Решение: $1 < x < 5$.
Учтем ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 5$) и условие $x \neq 3$.
Получаем интервалы: $(1, 3) \cup (3, 5)$.
Ответ: $x \in (1, 3) \cup (3, 5)$.

г) Решим неравенство $1 + \frac{12}{x^2} < \frac{7}{x}$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Перенесем все в левую часть: $1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^2} < 0$.
Приведем к общему знаменателю $x^2$: $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2} < 0$.
Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.
Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 7x + 12 < 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Решим квадратное неравенство $x^2 - 7x + 12 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1=3$, $x_2=4$.
Парабола $y = x^2 - 7x + 12$ ветвями вверх, поэтому она отрицательна между корнями.
Решение неравенства: $3 < x < 4$.
Этот интервал удовлетворяет условию $x \neq 0$.
Ответ: $x \in (3, 4)$.

145. Докажите справедливость неравенства:

а) $m + \frac{4}{m} \ge 4$ при $m > 0;$

б) $\frac{2m}{1+m^2} \le 1;$

в) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ при $a > 0, b > 0;$

г) $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}$ при $a > 0, b > 0, c > 0, a < b.$

а) Требуется доказать неравенство $m + \frac{4}{m} \ge 4$ при $m > 0$.
Поскольку по условию $m > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $m$, не меняя знака неравенства.
$m \cdot m + \frac{4}{m} \cdot m \ge 4 \cdot m$
$m^2 + 4 \ge 4m$
Перенесем все члены в левую часть:
$m^2 - 4m + 4 \ge 0$
Выражение в левой части является полным квадратом разности $(m - 2)$:
$(m - 2)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно при любом $m$. Так как все преобразования были равносильными (при $m > 0$), то и исходное неравенство верно.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Требуется доказать неравенство $\frac{2m}{1+m^2} \le 1$.
Знаменатель дроби $1+m^2$ всегда строго положителен, так как $m^2 \ge 0$ для любого действительного $m$, и, следовательно, $1+m^2 \ge 1$.
Умножим обе части неравенства на положительное выражение $1+m^2$:
$2m \le 1 \cdot (1 + m^2)$
$2m \le 1 + m^2$
Перенесем $2m$ в правую часть, чтобы собрать все члены с одной стороны:
$0 \le 1 - 2m + m^2$
Выражение в правой части является полным квадратом разности $(m - 1)$:
$0 \le (m - 1)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $m$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Требуется доказать неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ при $a > 0, b > 0$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ab$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$.
$\frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} \ge 2$
$\frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2$
Умножим обе части на положительный знаменатель $ab$:
$a^2 + b^2 \ge 2ab$
Перенесем $2ab$ в левую часть:
$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$
Левая часть является формулой квадрата разности $(a - b)$:
$(a - b)^2 \ge 0$
Это неравенство верно для любых действительных $a$ и $b$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными для $a>0, b>0$, исходное неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Требуется доказать неравенство $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}$ при $a > 0, b > 0, c > 0, a < b$.
Поскольку $b > 0$ и $c > 0$, знаменатели обеих дробей, $b$ и $b+c$, положительны. Мы можем выполнить перекрестное умножение, не меняя знака неравенства.
$a(b+c) < b(a+c)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$ab + ac < ba + bc$
Вычтем из обеих частей одинаковый член $ab$ (или $ba$):
$ac < bc$
По условию $c > 0$, поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $c$, не меняя знака неравенства:
$a < b$
Мы пришли к неравенству $a < b$, которое является истинным согласно условию задачи. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Решите уравнения (146–149).

146. а) $\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1;$

б) $\sqrt{x^2 - 16} = x^2 - 22;$

в) $\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1;$

г) $\sqrt{x^2 + 9} = x^2 - 11.$

а)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1$.

Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$, которое равносильно системе, где правая часть должна быть неотрицательной, и квадрат левой части равен квадрату правой:

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x^2 + 2x + 10 = (2x - 1)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство, чтобы найти область допустимых значений для $x$:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Теперь решим второе уравнение, возведя обе части исходного уравнения в квадрат:

$x^2 + 2x + 10 = (2x - 1)^2$

$x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 10 = 0$

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3$

Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge \frac{1}{2}$.

Для $x_1 = 3$: $3 \ge \frac{1}{2}$ (верно).

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge \frac{1}{2}$ (неверно). Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3

б)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 16} = x^2 - 22$.

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$.

Из условия существования квадратного корня следует, что $x^2 - 16 \ge 0$, или $y - 16 \ge 0$, то есть $y \ge 16$.

Уравнение с новой переменной:

$\sqrt{y - 16} = y - 22$

Это уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y - 22 \ge 0 \\ y - 16 = (y - 22)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $y \ge 22$. Это условие является более строгим, чем $y \ge 16$.

Решим второе уравнение:

$y - 16 = y^2 - 44y + 484$

$y^2 - 45y + 500 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500 = 2025 - 2000 = 25 = 5^2$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 \pm 5}{2}$

$y_1 = \frac{45 + 5}{2} = 25$

$y_2 = \frac{45 - 5}{2} = 20$

Проверим найденные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 22$.

$y_1 = 25$ удовлетворяет условию ($25 \ge 22$).

$y_2 = 20$ не удовлетворяет условию ($20 < 22$), поэтому это посторонний корень.

Единственное подходящее значение $y = 25$. Выполним обратную замену:

$x^2 = 25$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Ответ: $\pm 5$

в)

Дано уравнение $\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 17 + 2x - 3x^2 = (x + 1)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем область допустимых значений: $x \ge -1$.

Решим второе уравнение:

$17 + 2x - 3x^2 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 3x^2 + 2x - 2x + 1 - 17$

$4x^2 - 16 = 0$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4$

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge -1$.

Для $x_1 = 2$: $2 \ge -1$ (верно).

Для $x_2 = -2$: $-2 \ge -1$ (неверно). Это посторонний корень.

Таким образом, решением уравнения является только $x=2$.

Ответ: 2

г)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 9} = x^2 - 11$.

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$\sqrt{y + 9} = y - 11$

Это уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y - 11 \ge 0 \\ y + 9 = (y - 11)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $y \ge 11$.

Решим второе уравнение:

$y + 9 = y^2 - 22y + 121$

$y^2 - 23y + 112 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 112 = 529 - 448 = 81 = 9^2$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm 9}{2}$

$y_1 = \frac{23 + 9}{2} = 16$

$y_2 = \frac{23 - 9}{2} = 7$

Проверим найденные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 11$.

$y_1 = 16$ удовлетворяет условию ($16 \ge 11$).

$y_2 = 7$ не удовлетворяет условию ($7 < 11$), поэтому это посторонний корень.

Единственное подходящее значение $y = 16$. Выполним обратную замену:

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Ответ: $\pm 4$

147. a) $\sqrt{x+17} - \sqrt{x-7} = 4$;

B) $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$;

б) $12\sqrt{x-1} - \sqrt[4]{x-1} = 3$;

г) $2\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[6]{x+1} = 6$.

а)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x+17} - \sqrt{x-7} = 4$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x+17 \ge 0 \implies x \ge -17$

$x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$

Пересечением этих условий является $x \ge 7$.

2. Уединим один из корней в левой части уравнения:

$\sqrt{x+17} = 4 + \sqrt{x-7}$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как обе части уравнения неотрицательны при $x \ge 7$, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x+17})^2 = (4 + \sqrt{x-7})^2$

$x+17 = 16 + 8\sqrt{x-7} + (x-7)$

$x+17 = 9 + x + 8\sqrt{x-7}$

4. Упростим уравнение и снова уединим корень:

$17 - 9 = 8\sqrt{x-7}$

$8 = 8\sqrt{x-7}$

$1 = \sqrt{x-7}$

5. Еще раз возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x-7})^2$

$1 = x-7$

$x = 8$

6. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $8 \ge 7$, условие выполняется.

Подставим $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{8+17} - \sqrt{8-7} = \sqrt{25} - \sqrt{1} = 5 - 1 = 4$.

$4 = 4$. Равенство верное.

Ответ: $x=8$.

в)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x+7 \ge 0 \implies x \ge -7$

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$.

2. Уединим один из корней:

$\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}$

3. Возведем обе части в квадрат. Левая часть неотрицательна. Для равносильности преобразования правая часть также должна быть неотрицательной: $9 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x-2} \le 9 \implies x-2 \le 81 \implies x \le 83$.

$(\sqrt{x+7})^2 = (9 - \sqrt{x-2})^2$

$x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + (x-2)$

$x+7 = 79 + x - 18\sqrt{x-2}$

4. Упростим и уединим оставшийся корень:

$7 - 79 = -18\sqrt{x-2}$

$-72 = -18\sqrt{x-2}$

$4 = \sqrt{x-2}$

5. Снова возведем в квадрат:

$4^2 = (\sqrt{x-2})^2$

$16 = x-2$

$x = 18$

6. Проверим корень. $18 \ge 2$ (условие ОДЗ выполняется) и $18 \le 83$ (условие для возведения в квадрат выполняется).

Подставим $x=18$ в исходное уравнение:

$\sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9$.

$9 = 9$. Равенство верное.

Ответ: $x=18$.

б)

Решим уравнение $12\sqrt{x-1} - \sqrt[4]{x-1} = 3$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Введем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{x-1}$. Тогда $y \ge 0$ и $\sqrt{x-1} = (\sqrt[4]{x-1})^2 = y^2$.

Подставим замену в уравнение:

$12y^2 - y = 3$

$12y^2 - y - 3 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(12)(-3) = 1 + 144 = 145$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{24}$.

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{145}}{24}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{145}}{24}$.

4. Учтем условие $y \ge 0$.

Корень $y_1 = \frac{1 + \sqrt{145}}{24} > 0$, так как $\sqrt{145} > 0$. Этот корень нам подходит.

Корень $y_2 = \frac{1 - \sqrt{145}}{24} < 0$, так как $\sqrt{145} > \sqrt{1} = 1$. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и является посторонним.

5. Сделаем обратную замену для $y_1$:

$\sqrt[4]{x-1} = \frac{1 + \sqrt{145}}{24}$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x-1 = \left(\frac{1 + \sqrt{145}}{24}\right)^4$

$x = 1 + \left(\frac{1 + \sqrt{145}}{24}\right)^4$

6. Найденное значение $x$ очевидно больше 1, так как к 1 прибавляется положительное число. Следовательно, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1 + \left(\frac{1 + \sqrt{145}}{24}\right)^4$.

г)

Решим уравнение $2\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[6]{x+1} = 6$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем шестой степени должно быть неотрицательным:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

2. Введем замену. Пусть $y = \sqrt[6]{x+1}$. Тогда $y \ge 0$ и $\sqrt[3]{x+1} = (\sqrt[6]{x+1})^2 = y^2$.

Подставим замену в уравнение:

$2y^2 - y = 6$

$2y^2 - y - 6 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

4. Учтем условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 2$ подходит, а корень $y_2 = -3/2$ не подходит, так как он отрицательный.

5. Выполним обратную замену для $y=2$:

$\sqrt[6]{x+1} = 2$

Возведем обе части в шестую степень:

$x+1 = 2^6$

$x+1 = 64$

$x = 63$

6. Проверим корень. $63 \ge -1$, условие ОДЗ выполняется.

Подставим $x=63$ в исходное уравнение:

$2\sqrt[3]{63+1} - \sqrt[6]{63+1} = 2\sqrt[3]{64} - \sqrt[6]{64} = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$.

$6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: $x=63$.

148. а) $ \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{2+x}} + \sqrt{2+x} = 0; $

б) $ \sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 2 = 0; $

в) $ \frac{x-\sqrt{x+5}}{x+\sqrt{x+5}} = \frac{1}{7}; $

г) $ \sqrt[3]{3x+1} - \sqrt{3x+1} = 0. $

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{2+x}} + \sqrt{2+x} = 0$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.
Выражение под корнем в знаменателе $\sqrt{2+x}$ требует, чтобы $2+x > 0$, то есть $x > -2$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение. Сложим второй и третий члены, приведя их к общему знаменателю:
$\sqrt{x} + \frac{-4 + (\sqrt{2+x})^2}{\sqrt{2+x}} = 0$
$\sqrt{x} + \frac{-4 + 2+x}{\sqrt{2+x}} = 0$
$\sqrt{x} + \frac{x-2}{\sqrt{2+x}} = 0$

3. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{2+x}$, так как в ОДЗ это выражение строго больше нуля:
$\sqrt{x}\sqrt{2+x} + x - 2 = 0$
$\sqrt{x(2+x)} = 2 - x$

4. Для того чтобы можно было возвести обе части уравнения в квадрат, необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной (так как значение квадратного корня всегда неотрицательно):
$2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 0$), получаем дополнительное ограничение для корней: $0 \le x \le 2$.

5. Возводим обе части уравнения $\sqrt{2x+x^2} = 2 - x$ в квадрат:
$2x + x^2 = (2-x)^2$
$2x + x^2 = 4 - 4x + x^2$
$2x = 4 - 4x$
$6x = 4$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

6. Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{2}{3}$ условию $0 \le x \le 2$.
$0 \le \frac{2}{3} \le 2$. Условие выполняется, следовательно, $x = \frac{2}{3}$ является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 2 = 0$.

1. ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательными, поэтому $x \ge 0$.

2. Сделаем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$.
Поскольку $x \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$.

3. Подставляем новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 + t - 2 = 0$.

4. Решаем полученное квадратное уравнение. Используя теорему Виета, находим корни:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

5. Проверяем найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень.

6. Выполняем обратную замену для $t=1$:
$\sqrt[4]{x} = 1$
Возводим обе части в четвертую степень:
$x = 1^4 = 1$.

7. Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: $x = 1$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{x-\sqrt{x+5}}{x+\sqrt{x+5}} = \frac{1}{7}$.

1. ОДЗ:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+\sqrt{x+5} \neq 0$.

2. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$7(x-\sqrt{x+5}) = 1(x+\sqrt{x+5})$
$7x - 7\sqrt{x+5} = x + \sqrt{x+5}$

3. Уединим радикал в одной части уравнения:
$7x - x = \sqrt{x+5} + 7\sqrt{x+5}$
$6x = 8\sqrt{x+5}$
$3x = 4\sqrt{x+5}$

4. Правая часть уравнения, $4\sqrt{x+5}$, неотрицательна. Следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной:
$3x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.
Объединяя с ОДЗ ($x \ge -5$), получаем, что решение должно удовлетворять условию $x \ge 0$.

5. Возведем обе части уравнения $3x = 4\sqrt{x+5}$ в квадрат:
$(3x)^2 = (4\sqrt{x+5})^2$
$9x^2 = 16(x+5)$
$9x^2 = 16x + 80$
$9x^2 - 16x - 80 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-80) = 256 + 2880 = 3136$.
$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 56}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 56}{2 \cdot 9} = \frac{-40}{18} = -\frac{20}{9}$.

7. Проверяем корни на соответствие условию $x \ge 0$.
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -20/9$ не удовлетворяет условию, значит, это посторонний корень.

8. Убедимся, что при $x=4$ знаменатель исходной дроби не равен нулю:
$4+\sqrt{4+5} = 4+\sqrt{9} = 4+3 = 7 \neq 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 4$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{3x+1} - \sqrt{3x+1} = 0$.

1. ОДЗ: Для кубического корня ограничений на подкоренное выражение нет.
Для квадратного корня выражение должно быть неотрицательным: $3x+1 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -1 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{3}$.
Итоговая ОДЗ: $x \ge -\frac{1}{3}$.

2. Перенесем один из членов в правую часть уравнения:
$\sqrt[3]{3x+1} = \sqrt{3x+1}$.

3. Введем замену переменной. Пусть $y = 3x+1$. С учетом ОДЗ, имеем $y \ge 0$.
Уравнение примет вид: $\sqrt[3]{y} = \sqrt{y}$.

4. Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в 6-ю степень (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3):
$(\sqrt[3]{y})^6 = (\sqrt{y})^6$
$(y^{1/3})^6 = (y^{1/2})^6$
$y^2 = y^3$

5. Решим полученное уравнение для $y$:
$y^3 - y^2 = 0$
$y^2(y-1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $y=0$ или $y-1=0 \Rightarrow y=1$.
Оба значения ($y=0$ и $y=1$) удовлетворяют условию $y \ge 0$.

6. Выполним обратную замену для каждого значения $y$:
Если $y=0$, то $3x+1 = 0 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
Если $y=1$, то $3x+1 = 1 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$.

7. Оба найденных корня, $x = -1/3$ и $x = 0$, принадлежат ОДЗ ($x \ge -1/3$).

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = 0$.

149. a) $\sqrt{225 + x^2} = x^2 - 47;$

Б) $\sqrt{x^2 + 36} = x^2 - 54;$

б) $\sqrt[3]{x - 2} = x - 2;$

Г) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2.$

а) $\sqrt{225 + x^2} = x^2 - 47$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем $225 + x^2$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $x^2 - 47 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 47$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{225 + x^2})^2 = (x^2 - 47)^2$
$225 + x^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 47 + 47^2$
$225 + x^2 = x^4 - 94x^2 + 2209$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное уравнение:
$x^4 - 94x^2 - x^2 + 2209 - 225 = 0$
$x^4 - 95x^2 + 1984 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Учитывая ОДЗ ($x^2 \ge 47$), получаем условие $y \ge 47$.
$y^2 - 95y + 1984 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-95)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1984 = 9025 - 7936 = 1089 = 33^2$
$y_1 = \frac{-(-95) + 33}{2 \cdot 1} = \frac{95 + 33}{2} = \frac{128}{2} = 64$
$y_2 = \frac{-(-95) - 33}{2 \cdot 1} = \frac{95 - 33}{2} = \frac{62}{2} = 31$
Теперь проверим найденные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 47$.
$y_1 = 64$ удовлетворяет условию ($64 \ge 47$).
$y_2 = 31$ не удовлетворяет условию ($31 < 47$), поэтому этот корень является посторонним.
Вернемся к замене для $y_1=64$:
$x^2 = 64$
$x = \pm\sqrt{64}$, откуда $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ $x^2 \ge 47$, так как $(\pm8)^2 = 64 \ge 47$.

Ответ: $\pm 8$.

б) $\sqrt[3]{x-2} = x-2$

Поскольку корень кубический, область допустимых значений — все действительные числа.Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x-2})^3 = (x-2)^3$
$x-2 = (x-2)^3$
Перенесем все члены в одну сторону:
$(x-2)^3 - (x-2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:
$(x-2) \cdot ((x-2)^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
2. $(x - 2)^2 - 1 = 0 \implies (x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm 1$.
Из $x-2=1$ следует $x=3$.
Из $x-2=-1$ следует $x=1$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $1; 2; 3$.

в) $\sqrt{x^2+36} = x^2 - 54$

Как и в задаче (а), найдем ОДЗ.1. $x^2 + 36 > 0$ для любого $x$.2. Правая часть должна быть неотрицательной: $x^2 - 54 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 54$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x^2+36})^2 = (x^2 - 54)^2$
$x^2 + 36 = x^4 - 108x^2 + 2916$
Приведем к стандартному виду:
$x^4 - 108x^2 - x^2 + 2916 - 36 = 0$
$x^4 - 109x^2 + 2880 = 0$
Сделаем замену $y = x^2$ с учетом ОДЗ $y \ge 54$.
$y^2 - 109y + 2880 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-109)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2880 = 11881 - 11520 = 361 = 19^2$
$y_1 = \frac{109 + 19}{2} = \frac{128}{2} = 64$
$y_2 = \frac{109 - 19}{2} = \frac{90}{2} = 45$
Проверим корни по условию $y \ge 54$.
$y_1 = 64$ подходит ($64 \ge 54$).
$y_2 = 45$ не подходит ($45 < 54$).
Выполним обратную замену для $y_1=64$:
$x^2 = 64 \implies x = \pm 8$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ $x^2 \ge 54$, так как $(\pm8)^2 = 64 \ge 54$.

Ответ: $\pm 8$.

г) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2$

ОДЗ для кубического корня — все действительные числа.
Возведем обе части уравнения в куб:
$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = (x - 2)^3$
Раскроем куб разности в правой части по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$
$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
Сократим $x^3$ в обеих частях и перенесем все члены в левую часть:
$(-5x^2 + 6x^2) + (16x - 12x) + (-5 + 8) = 0$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Подбором находим корни:
$x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; -1$.

Решите неравенства (150, 151).

150. a) $\sqrt{x^2 - 5} \ge 2;$

б) $\sqrt{(x-2)(1-2x)} > -1;$

в) $\sqrt{x^2 - 16} \ge 1;$

г) $(\sqrt{x-3})(x^2+1) > 0.$

а) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 5} \ge 2$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 5 \ge 0$
$x^2 \ge 5$
Это выполняется при $x \le -\sqrt{5}$ или $x \ge \sqrt{5}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.
2. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x^2 - 5})^2 \ge 2^2$
$x^2 - 5 \ge 4$
$x^2 \ge 9$
Это выполняется при $x \le -3$ или $x \ge 3$. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
3. Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Сравним числа: $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, следовательно $3 > \sqrt{5}$. Аналогично, $-3 < -\sqrt{5}$.
Пересечением множеств $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$ и $(-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ является множество $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

б) Исходное неравенство: $\sqrt{(x-2)(1-2x)} > -1$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$(x-2)(1-2x) \ge 0$
Найдем корни выражения $(x-2)(1-2x)$: $x-2=0 \implies x_1 = 2$; $1-2x=0 \implies x_2 = 1/2$.
Графиком функции $y = (x-2)(1-2x) = -2x^2 + 5x - 2$ является парабола с ветвями вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-2). Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения между корнями.
ОДЗ: $x \in [1/2, 2]$.
2. Решим само неравенство. Арифметический квадратный корень по определению всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{(x-2)(1-2x)} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.
Любое неотрицательное число всегда больше, чем любое отрицательное число, в частности, больше -1. Следовательно, неравенство $\sqrt{(x-2)(1-2x)} > -1$ выполняется для всех значений $x$, при которых левая часть определена.
3. Таким образом, решение неравенства совпадает с его областью допустимых значений.
Ответ: $x \in [1/2, 2]$.

в) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 16} \ge 1$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x^2 - 16 \ge 0$
$x^2 \ge 16$
Это выполняется при $x \le -4$ или $x \ge 4$. ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.
2. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 16})^2 \ge 1^2$
$x^2 - 16 \ge 1$
$x^2 \ge 17$
Это выполняется при $x \le -\sqrt{17}$ или $x \ge \sqrt{17}$. Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, \infty)$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Сравним числа: $\sqrt{17} > \sqrt{16} = 4$ и, соответственно, $-\sqrt{17} < -\sqrt{16} = -4$.
Интервал $(-\infty, -\sqrt{17}]$ полностью содержится в интервале $(-\infty, -4]$.
Интервал $[\sqrt{17}, \infty)$ полностью содержится в интервале $[4, \infty)$.
Таким образом, пересечением является множество $(-\infty, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, \infty)$.

г) Исходное неравенство: $(\sqrt{x}-3)(x^2+1) > 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$, то есть ОДЗ: $x \in [0, \infty)$.
2. Проанализируем множители в левой части неравенства. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2+1 \ge 1$.
Поскольку множитель $(x^2+1)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:
$\frac{(\sqrt{x}-3)(x^2+1)}{x^2+1} > \frac{0}{x^2+1}$
$\sqrt{x}-3 > 0$
$\sqrt{x} > 3$
3. Так как обе части полученного неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 > 3^2$
$x > 9$.
4. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решение $x > 9$ (или $x \in (9, \infty)$) полностью входит в ОДЗ $x \ge 0$ (или $x \in [0, \infty)$).
Ответ: $x \in (9, \infty)$.

151. а) $\sqrt{x^2 - 6x + 9} > 3;$

б) $\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{2x^2 + x + 1} \ge 0;$

в) $\sqrt{25 - 20x + 4x^2} \le 1;$

г) $\sqrt{2x - x^2} + 15 (3x - x^2 - 4) \le 0.$

а) $\sqrt{x^2 - 6x + 9} > 3$

Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{(x-3)^2} > 3$.
Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Получаем:
$|x - 3| > 3$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) $x - 3 > 3 \implies x > 6$
2) $x - 3 < -3 \implies x < 0$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

б) $\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{2x^2 + x + 1} \ge 0$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби.
1. Числитель: $\sqrt{x^2 - 2x + 3}$.
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x^2 - 2x + 3} \ge 0$.
Найдем область определения корня. Выражение под корнем $x^2 - 2x + 3$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a = 1 > 0$), то трехчлен $x^2 - 2x + 3$ всегда положителен при любых значениях $x$.
Следовательно, числитель $\sqrt{x^2 - 2x + 3}$ определен и строго положителен для всех $x \in \mathbb{R}$.
2. Знаменатель: $2x^2 + x + 1$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a = 2 > 0$), то знаменатель $2x^2 + x + 1$ также всегда положителен при любых значениях $x$.

Таким образом, мы имеем дробь, в которой числитель всегда положителен, и знаменатель всегда положителен. Частное двух положительных чисел всегда положительно. Неравенство $\frac{\text{положительное число}}{\text{положительное число}} \ge 0$ выполняется для любых действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $\sqrt{25 - 20x + 4x^2} \le 1$

Преобразуем выражение под корнем. Заметим, что $25 - 20x + 4x^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x - 5)^2$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{(2x - 5)^2} \le 1$.
Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$|2x - 5| \le 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 \le 2x - 5 \le 1$.
Прибавим 5 ко всем частям неравенства:
$-1 + 5 \le 2x \le 1 + 5$
$4 \le 2x \le 6$
Разделим все части неравенства на 2:
$2 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [2; 3]$.

г) $\sqrt{2x - x^2 + 15} \cdot (3x - x^2 - 4) \le 0$

Произведение двух множителей неположительно. Первый множитель $\sqrt{2x - x^2 + 15}$ по определению арифметического корня всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был неположителен, а также чтобы первый множитель был определен.
Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 2x - x^2 + 15 \ge 0 \quad \text{(область определения корня)} \\ 3x - x^2 - 4 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x - x^2 + 15 \ge 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x - 15 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 15 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-3; 5]$.

Решим второе неравенство: $3x - x^2 - 4 \le 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 3x + 4 \ge 0$.
Найдем дискриминант трехчлена $x^2 - 3x + 4$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1>0$, трехчлен $x^2 - 3x + 4$ положителен при всех действительных $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 \ge 0$ (и исходное $3x - x^2 - 4 \le 0$) выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств:
$x \in [-3; 5] \cap (-\infty; +\infty)$.
Пересечением является интервал $[-3; 5]$.

Ответ: $x \in [-3; 5]$.