Страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

171. a) $\log_3^2 x = 4 - 3 \log_3 x;$

б) $\frac{1}{2} \lg (2x - 1) = 1 - \lg \sqrt{x - 9};$

в) $\log_3 \sqrt{x - 5} + \log_3 \sqrt{2x - 3} = 1;$

г) $3 \lg^2 (x - 1) - 10 \lg (x - 1) + 3 = 0.$

а) $\log_3^2 x = 4 - 3 \log_3 x$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Перенесем все члены в левую часть: $\log_3^2 x + 3 \log_3 x - 4 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид: $t^2 + 3t - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$
$t_1 \cdot t_2 = -4$
Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\log_3 x = 1 \implies x_1 = 3^1 = 3$.
2) $\log_3 x = -4 \implies x_2 = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{81}$.

б) $\frac{1}{2}\lg(2x-1) = 1 - \lg\sqrt{x-9}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $\begin{cases} 2x-1 > 0 \\ x-9 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 9 \end{cases} \implies x > 9$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $\lg\sqrt{a} = \lg a^{1/2} = \frac{1}{2}\lg a$: $\frac{1}{2}\lg(2x-1) = 1 - \frac{1}{2}\lg(x-9)$
Умножим обе части уравнения на 2: $\lg(2x-1) = 2 - \lg(x-9)$
Перенесем логарифм в левую часть: $\lg(2x-1) + \lg(x-9) = 2$
Используем свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$: $\lg((2x-1)(x-9)) = 2$
По определению десятичного логарифма: $(2x-1)(x-9) = 10^2$
$2x^2 - 18x - x + 9 = 100$
$2x^2 - 19x - 91 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-91) = 361 + 728 = 1089 = 33^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 33}{4}$
$x_1 = \frac{19+33}{4} = \frac{52}{4} = 13$
$x_2 = \frac{19-33}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$
Проверим корни по ОДЗ ($x > 9$).
$x_1 = 13$ удовлетворяет условию ($13 > 9$).
$x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию ($-3.5 \ngtr 9$), это посторонний корень.
Ответ: $x = 13$.

в) $\log_3\sqrt{x-5} + \log_3\sqrt{2x-3} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $\begin{cases} x-5 > 0 \\ 2x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} \implies x > 5$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $\log_3(\sqrt{x-5} \cdot \sqrt{2x-3}) = 1$
$\log_3\sqrt{(x-5)(2x-3)} = 1$
По определению логарифма: $\sqrt{(x-5)(2x-3)} = 3^1$
$\sqrt{(x-5)(2x-3)} = 3$
Возведем обе части в квадрат: $(x-5)(2x-3) = 9$
$2x^2 - 3x - 10x + 15 = 9$
$2x^2 - 13x + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{4}$
$x_1 = \frac{13+11}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{13-11}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Проверим корни по ОДЗ ($x > 5$).
$x_1 = 6$ удовлетворяет условию ($6 > 5$).
$x_2 = 0.5$ не удовлетворяет условию ($0.5 \ngtr 5$), это посторонний корень.
Ответ: $x = 6$.

г) $3\lg^2(x-1) - 10\lg(x-1) + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\lg(x-1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 > 0 \implies x > 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg(x-1)$. Уравнение примет вид: $3t^2 - 10t + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8}{6}$
$t_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\lg(x-1) = 3 \implies x-1 = 10^3 \implies x-1 = 1000 \implies x_1 = 1001$.
2) $\lg(x-1) = \frac{1}{3} \implies x-1 = 10^{1/3} \implies x_2 = 1 + \sqrt[3]{10}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 1$), так как $1001 > 1$ и $1 + \sqrt[3]{10} > 1$.
Ответ: $x_1 = 1001, x_2 = 1 + \sqrt[3]{10}$.

172. a) $2 \log_5 (\lg x) = \log_5 (10 - 9 \lg x);$

б) $\lg (3^x + x - 17) = x \lg 30 - x;$

в) $2 \lg (\lg x) = \lg (3 - 2 \lg x);$

г) $x - x \lg 5 = \lg (2^x + x - 3).$

а) Исходное уравнение: $2 \log_{5} (\lg x) = \log_{5} (10 - 9 \lg x)$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
1. $\lg x > 0$, что эквивалентно $x > 10^0$, то есть $x > 1$.
2. $10 - 9 \lg x > 0$, что эквивалентно $9 \lg x < 10$, или $\lg x < \frac{10}{9}$.
Таким образом, ОДЗ для переменной $x$ определяется системой неравенств: $x > 1$ и $\lg x < \frac{10}{9}$, или $0 < \lg x < \frac{10}{9}$.
Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_{5} ((\lg x)^2) = \log_{5} (10 - 9 \lg x)$.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(\lg x)^2 = 10 - 9 \lg x$.
Для решения этого уравнения введем замену $t = \lg x$. Уравнение принимает вид квадратного:
$t^2 = 10 - 9t$
$t^2 + 9t - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -10$.
Выполним обратную замену и проверим, удовлетворяют ли найденные значения ОДЗ ($0 < t < \frac{10}{9}$):
1. Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1 < \frac{10}{9}$. Из $\lg x = 1$ следует, что $x = 10^1 = 10$.
2. Если $t = -10$, то $\lg x = -10$. Это значение не удовлетворяет условию ОДЗ $\lg x > 0$. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $10$.

б) Исходное уравнение: $\lg(3^x + x - 17) = x \lg 30 - x$.
Сначала преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:
$x \lg 30 - x = x (\lg 30 - 1) = x (\lg 30 - \lg 10) = x \lg(\frac{30}{10}) = x \lg 3 = \lg(3^x)$.
Теперь уравнение можно переписать в виде:
$\lg(3^x + x - 17) = \lg(3^x)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов: $3^x + x - 17 > 0$ и $3^x > 0$ (второе верно для любого $x$).
Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны (основание 10):
$3^x + x - 17 = 3^x$.
Вычитаем $3^x$ из обеих частей уравнения:
$x - 17 = 0$.
Отсюда находим $x = 17$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Подставим $x=17$ в неравенство $3^x + x - 17 > 0$:
$3^{17} + 17 - 17 = 3^{17}$. Так как $3^{17} > 0$, условие выполняется.
Ответ: $17$.

в) Исходное уравнение: $2 \lg(\lg x) = \lg(3 - 2 \lg x)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:
1. $\lg x > 0 \implies x > 1$.
2. $3 - 2 \lg x > 0 \implies 2 \lg x < 3 \implies \lg x < \frac{3}{2}$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ для $\lg x$: $0 < \lg x < \frac{3}{2}$.
Преобразуем левую часть, используя свойство $n \lg a = \lg(a^n)$:
$\lg((\lg x)^2) = \lg(3 - 2 \lg x)$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$(\lg x)^2 = 3 - 2 \lg x$.
Введем замену $t = \lg x$ для получения квадратного уравнения:
$t^2 = 3 - 2t$
$t^2 + 2t - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену и проверим корни по ОДЗ ($0 < t < \frac{3}{2}$):
1. Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1 < \frac{3}{2}$. Из $\lg x = 1$ получаем $x = 10^1 = 10$.
2. Если $t = -3$, то $\lg x = -3$. Это значение не удовлетворяет условию $\lg x > 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, решением является только $x=10$.
Ответ: $10$.

г) Исходное уравнение: $x - x \lg 5 = \lg(2^x + x - 3)$.
Преобразуем левую часть уравнения, вынося $x$ за скобки и используя свойства логарифмов:
$x - x \lg 5 = x(1 - \lg 5) = x(\lg 10 - \lg 5) = x \lg(\frac{10}{5}) = x \lg 2 = \lg(2^x)$.
Теперь уравнение имеет вид:
$\lg(2^x) = \lg(2^x + x - 3)$.
ОДЗ определяется условием $2^x + x - 3 > 0$. Также $2^x > 0$ выполняется для всех $x$.
Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$2^x = 2^x + x - 3$.
Вычитаем $2^x$ из обеих частей уравнения:
$0 = x - 3$.
Отсюда получаем $x = 3$.
Проверим найденный корень, подставив его в неравенство ОДЗ $2^x + x - 3 > 0$:
$2^3 + 3 - 3 = 8 > 0$. Условие выполняется.
Ответ: $3$.

173. a) $\log_2 x + \frac{4}{\log_x 2} = 5;$

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{1}{3}} x = 6;$

в) $2 \log_{\sqrt{3}} x + \log_x \frac{1}{3} = 3;$

г) $\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_{x^2} x + \log_8 x = 16.$

а) $\log_2 x + \frac{4}{\log_x 2} = 5$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Для решения уравнения воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Применим эту формулу ко второму слагаемому: $\frac{1}{\log_x 2} = \log_2 x$.
Тогда второе слагаемое в уравнении можно переписать как $4 \cdot (\frac{1}{\log_x 2}) = 4\log_2 x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\log_2 x + 4\log_2 x = 5$
$5\log_2 x = 5$
$\log_2 x = 1$
По определению логарифма:
$x = 2^1 = 2$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 2$.

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{1}{3}} x = 6$
ОДЗ: $x > 0$ и $\sqrt{x} \ne 1$, что означает $x \ne 1$.
Преобразуем каждый член уравнения, приведя логарифмы к основанию 3.
Второй член: $\log_{\sqrt{x}} x = \log_{x^{1/2}} x$. По свойству $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ получаем $\frac{1}{1/2}\log_x x = 2 \cdot 1 = 2$.
Третий член: $\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1}\log_3 x = -\log_3 x$.
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$\log_3 x + 2 - (-\log_3 x) = 6$
$\log_3 x + 2 + \log_3 x = 6$
$2\log_3 x = 6 - 2$
$2\log_3 x = 4$
$\log_3 x = 2$
$x = 3^2 = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 9$.

в) $2\log_{\sqrt{3}} x + \log_x \frac{1}{3} = 3$
ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Приведем логарифмы к одному основанию, например, к 3.
Первый член: $2\log_{\sqrt{3}} x = 2\log_{3^{1/2}} x = 2 \cdot \frac{1}{1/2}\log_3 x = 4\log_3 x$.
Второй член: $\log_x \frac{1}{3} = \log_x (3^{-1}) = -\log_x 3 = -\frac{1}{\log_3 x}$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$4\log_3 x - \frac{1}{\log_3 x} = 3$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. При этом $t \ne 0$, так как $x \ne 1$.
$4t - \frac{1}{t} = 3$
Умножим обе части на $t$:
$4t^2 - 1 = 3t$
$4t^2 - 3t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3+5}{8} = 1$.
$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3-5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.
2) $\log_3 x = -\frac{1}{4} \implies x = 3^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 3^{-1/4}$.

г) $\log_{\sqrt{2}} x + 4\log_{x^2} x + \log_8 x = 16$
ОДЗ: $x > 0$ и $x^2 \ne 1$, что означает $x \ne 1$.
Приведем все логарифмы к основанию 2.
Первый член: $\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2}\log_2 x = 2\log_2 x$.
Второй член: $4\log_{x^2} x = 4 \cdot \frac{1}{2}\log_x x = 2 \cdot 1 = 2$.
Третий член: $\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3}\log_2 x$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$2\log_2 x + 2 + \frac{1}{3}\log_2 x = 16$
Сгруппируем слагаемые с логарифмом:
$(2 + \frac{1}{3})\log_2 x = 16 - 2$
$\frac{7}{3}\log_2 x = 14$
$\log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7}$
$\log_2 x = 6$
$x = 2^6 = 64$.
Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 64$.

174. a) $x^{\log_2 x-2} = 8;$

Б) $x^{\log_5 x} = 125x^2;$

В) $x^{\lg x} = 10 000;$

Г) $x^{\log_3 x-3} = \frac{1}{9}.$

а) Решим уравнение $x^{\log_2 x - 2} = 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(x^{\log_2 x - 2}) = \log_2(8)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:

$(\log_2 x - 2) \cdot \log_2 x = \log_2(2^3)$

$(\log_2 x - 2) \cdot \log_2 x = 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t(t - 2) = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Следовательно, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1) Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$, откуда $x_1 = 2^3 = 8$.

2) Если $t = -1$, то $\log_2 x = -1$, откуда $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Оба корня ($8$ и $\frac{1}{2}$) принадлежат ОДЗ ($x > 0$), следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: $8; \frac{1}{2}$.

б) Решим уравнение $x^{\log_5 x} = 125x^2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x}) = \log_5(125x^2)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получим:

$(\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = \log_5(125) + \log_5(x^2)$

$(\log_5 x)^2 = \log_5(5^3) + 2\log_5 x$

$(\log_5 x)^2 = 3 + 2\log_5 x$

Введем замену $t = \log_5 x$:

$t^2 = 3 + 2t$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (аналогично пункту а)): $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 3$, то $\log_5 x = 3$, откуда $x_1 = 5^3 = 125$.

2) Если $t = -1$, то $\log_5 x = -1$, откуда $x_2 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($125$ и $\frac{1}{5}$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $125; \frac{1}{5}$.

в) Решим уравнение $x^{\lg x} = 10000$.

Здесь $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$. ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(10000)$

Применяя свойство логарифма степени:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg(10^4)$

$(\lg x)^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $\lg x$:

1) $\lg x = 2$, откуда $x_1 = 10^2 = 100$.

2) $\lg x = -2$, откуда $x_2 = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01$.

Оба корня ($100$ и $0.01$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $100; 0.01$.

г) Решим уравнение $x^{\log_3 x - 3} = \frac{1}{9}$.

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(x^{\log_3 x - 3}) = \log_3\left(\frac{1}{9}\right)$

Используя свойство логарифма степени:

$(\log_3 x - 3) \cdot \log_3 x = \log_3(3^{-2})$

$(\log_3 x - 3) \cdot \log_3 x = -2$

Введем замену $t = \log_3 x$:

$t(t-3) = -2$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x_1 = 3^1 = 3$.

2) Если $t=2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x_2 = 3^2 = 9$.

Оба корня ($3$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $3; 9$.

175. a) $3 \log_2^2 \sin x + \log_2 (1 - \cos 2x) = 2;$

б) $\log_{0,1} \sin 2x + \lg \cos x = \lg 7;$

в) $\log_7 5^{\sqrt{x+2}} = (x-4) \log_7 5;$

г) $\lg (3 \cdot 5^x + 24 \cdot 20^x) = x + \lg 18.$

а) $3 \log_2^2 \sin x + \log_2 (1 - \cos 2x) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
1) $\sin x > 0$
2) $1 - \cos 2x > 0$
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x $, преобразуем второе неравенство:
$1 - (1 - 2 \sin^2 x) > 0 \implies 2 \sin^2 x > 0 \implies \sin x \neq 0$.
Объединяя условия $\sin x > 0$ и $\sin x \neq 0$, получаем ОДЗ: $\sin x > 0$. Это соответствует интервалам $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение, используя тригонометрическую формулу $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$:
$3 \log_2^2 \sin x + \log_2 (2 \sin^2 x) = 2$
Используем свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и свойство логарифма степени $\log_a(b^k) = k \log_a b$:
$3 \log_2^2 \sin x + \log_2 2 + \log_2 (\sin^2 x) = 2$
$3 \log_2^2 \sin x + 1 + 2 \log_2 |\sin x| = 2$
Так как по ОДЗ $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$.
$3 \log_2^2 \sin x + 2 \log_2 \sin x + 1 - 2 = 0$
$3 \log_2^2 \sin x + 2 \log_2 \sin x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 \sin x$. Уравнение принимает вид квадратного:
$3t^2 + 2t - 1 = 0$
Решаем его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$t_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$
$t_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Выполняем обратную замену:
1) $\log_2 \sin x = -1 \implies \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($\frac{1}{2} > 0$).
Решениями уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\log_2 \sin x = \frac{1}{3} \implies \sin x = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$. Так как $\sqrt[3]{2} \approx 1.26 > 1$, это уравнение не имеет решений, поскольку область значений синуса $[-1, 1]$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\log_{0,1} \sin 2x + \lg \cos x = \lg 7$

ОДЗ:
1) $\sin 2x > 0$
2) $\cos x > 0$
Из $\sin 2x = 2 \sin x \cos x > 0$ и $\cos x > 0$ следует, что $\sin x > 0$.
Таким образом, ОДЗ определяется системой $\begin{cases} \sin x > 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$, что соответствует первой четверти координатной плоскости: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ и то, что $\lg$ - это логарифм по основанию 10:
$\log_{10^{-1}} \sin 2x + \lg \cos x = \lg 7$
$-\lg \sin 2x + \lg \cos x = \lg 7$
Используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\lg \left(\frac{\cos x}{\sin 2x}\right) = \lg 7$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{\cos x}{\sin 2x} = 7$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$\frac{\cos x}{2 \sin x \cos x} = 7$
Так как по ОДЗ $\cos x > 0$, можно сократить на $\cos x$:
$\frac{1}{2 \sin x} = 7$
$2 \sin x = \frac{1}{7} \implies \sin x = \frac{1}{14}$.

Найденное значение $\sin x = \frac{1}{14}$ удовлетворяет условию ОДЗ $\sin x > 0$. Условие $\cos x > 0$ также выполняется, так как если $\sin x = \frac{1}{14}$, то $x$ может находиться в первой или второй четверти, но ОДЗ требует, чтобы $x$ был в первой четверти.
Решение уравнения $\sin x = \frac{1}{14}$ с учетом ОДЗ: $x = \arcsin\left(\frac{1}{14}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arcsin\left(\frac{1}{14}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\log_7 5^{\sqrt{x+2}} = (x-4) \log_7 5$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \log_a b$ для левой части уравнения:
$\sqrt{x+2} \cdot \log_7 5 = (x-4) \log_7 5$
Так как $\log_7 5 \neq 0$, разделим обе части уравнения на $\log_7 5$:
$\sqrt{x+2} = x-4$

Это иррациональное уравнение. Поскольку левая часть (арифметический квадратный корень) неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной:
$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
Это условие является более строгим, чем ОДЗ ($x \ge -2$), поэтому далее работаем с ним.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2})^2 = (x-4)^2$
$x+2 = x^2 - 8x + 16$
$x^2 - 9x + 14 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 14. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 4$:
- $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \ge 4$, следовательно, это посторонний корень.
- $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 4$, следовательно, это решение уравнения.

Ответ: $x=7$.

г) $\lg (3 \cdot 5^x + 24 \cdot 20^x) = x + \lg 18$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен: $3 \cdot 5^x + 24 \cdot 20^x > 0$.
Так как $5^x > 0$ и $20^x > 0$ для любого действительного $x$, их сумма с положительными коэффициентами всегда положительна. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем правую часть уравнения, представив $x$ в виде логарифма: $x = x \cdot \lg 10 = \lg(10^x)$.
$\lg (3 \cdot 5^x + 24 \cdot 20^x) = \lg(10^x) + \lg 18$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\lg (3 \cdot 5^x + 24 \cdot 20^x) = \lg (18 \cdot 10^x)$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$3 \cdot 5^x + 24 \cdot 20^x = 18 \cdot 10^x$

Представим $20^x$ и $10^x$ через степени с основаниями 2 и 5:
$20^x = (4 \cdot 5)^x = 4^x \cdot 5^x = (2^2)^x \cdot 5^x = 2^{2x} \cdot 5^x$
$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$
Подставим в уравнение:
$3 \cdot 5^x + 24 \cdot (2^{2x} \cdot 5^x) = 18 \cdot (2^x \cdot 5^x)$
Разделим обе части на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$):
$3 + 24 \cdot 2^{2x} = 18 \cdot 2^x$

Сделаем замену $y = 2^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $y > 0$.
$3 + 24y^2 = 18y$
$24y^2 - 18y + 3 = 0$
Разделим уравнение на 3 для упрощения:
$8y^2 - 6y + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$.
$y_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$y_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
Оба корня положительны, поэтому подходят.

Выполним обратную замену:
1) $2^x = y_1 = \frac{1}{4} = 2^{-2} \implies x = -2$
2) $2^x = y_2 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies x = -1$

Ответ: $x=-2, x=-1$.

Решите неравенства (176—179).

176. a) $\log_2 (x^2 - x - 4) < 3;$

б) $\log_{\sqrt{3}-1} (5 - 2x) > 2;$

в) $\lg (x^2 - x + 8) \ge 1;$

г) $\log_{\sqrt{7}-1} (3 - 2x) < 2.$

а) $\log_{2}(x^2 - x - 4) < 3$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x^2 - x - 4 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 4 = 0$ через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$
Парабола $y = x^2 - x - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней.
ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.
2. Решим само неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.
$\log_{2}(x^2 - x - 4) < 3$
$\log_{2}(x^2 - x - 4) < \log_{2}(2^3)$
$x^2 - x - 4 < 8$
$x^2 - x - 12 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - x - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $ < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-3; 4)$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.
Сравним значения: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.
$\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{1 - 4.12}{2} \approx -1.56$. Так как $-3 < -1.56$, то интервал $(-3; \frac{1 - \sqrt{17}}{2})$ входит в решение.
$\frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{1 + 4.12}{2} \approx 2.56$. Так как $2.56 < 4$, то интервал $(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; 4)$ входит в решение.
Пересечение множеств $(-3; 4)$ и $(-\infty; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$ дает:
$x \in (-3; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; 4)$.
Ответ: $x \in (-3; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; 4)$.

б) $\log_{\sqrt{3}-1}(5-2x) > 2$
1. Найдем ОДЗ.
$5 - 2x > 0$
$-2x > -5$
$x < \frac{5}{2}$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 2.5)$.
2. Решим неравенство. Оценим основание логарифма $a = \sqrt{3}-1$.
Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $0 < \sqrt{3}-1 < 1$.
Основание логарифма находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция убывающая, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$\log_{\sqrt{3}-1}(5-2x) > 2$
$5-2x < (\sqrt{3}-1)^2$
$5-2x < (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2$
$5-2x < 3 - 2\sqrt{3} + 1$
$5-2x < 4 - 2\sqrt{3}$
$-2x < 4 - 2\sqrt{3} - 5$
$-2x < -1 - 2\sqrt{3}$
Делим на -2 и меняем знак неравенства:
$x > \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{-2}$
$x > \frac{1 + 2\sqrt{3}}{2}$
3. Найдем пересечение решения $x > \frac{1 + 2\sqrt{3}}{2}$ с ОДЗ $x < \frac{5}{2}$.
Объединяя оба условия, получаем: $\frac{1 + 2\sqrt{3}}{2} < x < \frac{5}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{1+2\sqrt{3}}{2}; \frac{5}{2})$.

в) $\lg(x^2 - x + 8) \geq 1$
1. Найдем ОДЗ.
$x^2 - x + 8 > 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 8$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, парабола находится полностью выше оси Ox, следовательно, выражение $x^2 - x + 8$ положительно при любых $x$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
$\lg(x^2 - x + 8) \geq \lg(10^1)$
$x^2 - x + 8 \geq 10$
$x^2 - x - 2 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $\geq 0$ выполняется на концах и за пределами корней.
$x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.
3. Пересечение с ОДЗ ($x \in \mathbb{R}$) не меняет решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

г) $\log_{\sqrt{7}-1}(3-2x) < 2$
1. Найдем ОДЗ.
$3 - 2x > 0$
$-2x > -3$
$x < \frac{3}{2}$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1.5)$.
2. Решим неравенство. Оценим основание логарифма $a = \sqrt{7}-1$.
Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $1 < \sqrt{7}-1 < 2$.
Основание логарифма больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.
$\log_{\sqrt{7}-1}(3-2x) < 2$
$3 - 2x < (\sqrt{7}-1)^2$
$3 - 2x < (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7} \cdot 1 + 1^2$
$3 - 2x < 7 - 2\sqrt{7} + 1$
$3 - 2x < 8 - 2\sqrt{7}$
$-2x < 8 - 2\sqrt{7} - 3$
$-2x < 5 - 2\sqrt{7}$
Делим на -2 и меняем знак неравенства:
$x > \frac{5 - 2\sqrt{7}}{-2}$
$x > \frac{2\sqrt{7} - 5}{2}$
3. Найдем пересечение решения $x > \frac{2\sqrt{7} - 5}{2}$ с ОДЗ $x < \frac{3}{2}$.
Объединяя оба условия, получаем: $\frac{2\sqrt{7} - 5}{2} < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{2\sqrt{7}-5}{2}; \frac{3}{2})$.

177. a) $2 \log_2 x < 2 + \log_2 (x + 3);$

б) $\log_{\frac{1}{6}} (10 - x) + \log_{\frac{1}{6}} (x - 3) \ge -1;$

в) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \ge -2;$

г) $\log_{0,5} (4 - x) \ge \log_{0,5} 2 - \log_{0,5} (x - 1).$

а) $2 \log_2 x < 2 + \log_2 (x + 3)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Представим число 2 как логарифм по основанию 2: $2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$. Перенесем множитель 2 в степень аргумента первого логарифма:
$\log_2 x^2 < \log_2 4 + \log_2 (x + 3)$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2 x^2 < \log_2 (4(x + 3))$

3. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:
$x^2 < 4(x + 3)$
$x^2 < 4x + 12$
$x^2 - 4x - 12 < 0$

4. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6, x_2 = -2$.
Неравенство можно записать в виде $(x - 6)(x + 2) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2, 6)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} -2 < x < 6 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow 0 < x < 6$.
Ответ: $x \in (0, 6)$.

б) $\log_{\frac{1}{6}} (10 - x) + \log_{\frac{1}{6}} (x - 3) \geq -1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 10 - x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 10 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow 3 < x < 10$.
ОДЗ: $x \in (3, 10)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов и представляя $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{6}$:
$\log_{\frac{1}{6}} ((10 - x)(x - 3)) \geq \log_{\frac{1}{6}} \left(\frac{1}{6}\right)^{-1}$
$\log_{\frac{1}{6}} (-x^2 + 13x - 30) \geq \log_{\frac{1}{6}} 6$

3. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный:
$-x^2 + 13x - 30 \leq 6$
$-x^2 + 13x - 36 \leq 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 13x + 36 \geq 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 36 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 4, x_2 = 9$.
Неравенство можно записать в виде $(x - 4)(x - 9) \geq 0$.
Решением является объединение промежутков $(-\infty, 4] \cup [9, +\infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, 4] \cup [9, +\infty) \\ x \in (3, 10) \end{cases} \Rightarrow x \in (3, 4] \cup [9, 10)$.
Ответ: $x \in (3, 4] \cup [9, 10)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \geq -2$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 12 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x < 12 \end{cases} \Rightarrow 2 < x < 12$.
ОДЗ: $x \in (2, 12)$.

2. Преобразуем левую часть по свойству суммы логарифмов, а правую часть представим в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$:
$\log_{\frac{1}{3}} ((x - 2)(12 - x)) \geq \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$
$\log_{\frac{1}{3}} (-x^2 + 14x - 24) \geq \log_{\frac{1}{3}} 9$

3. Основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$-x^2 + 14x - 24 \leq 9$
$-x^2 + 14x - 33 \leq 0$
$x^2 - 14x + 33 \geq 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 14x + 33 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 3, x_2 = 11$.
Неравенство $(x - 3)(x - 11) \geq 0$ имеет решение $x \in (-\infty, 3] \cup [11, +\infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, 3] \cup [11, +\infty) \\ x \in (2, 12) \end{cases} \Rightarrow x \in (2, 3] \cup [11, 12)$.
Ответ: $x \in (2, 3] \cup [11, 12)$.

г) $\log_{0.5} (4 - x) \geq \log_{0.5} 2 - \log_{0.5} (x - 1)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow 1 < x < 4$.
ОДЗ: $x \in (1, 4)$.

2. Преобразуем правую часть, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\log_{0.5} (4 - x) \geq \log_{0.5} \frac{2}{x - 1}$

3. Основание логарифма $0 < 0.5 < 1$, функция убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$4 - x \leq \frac{2}{x - 1}$

4. Решим полученное рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$4 - x - \frac{2}{x - 1} \leq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(4 - x)(x - 1) - 2}{x - 1} \leq 0$
$\frac{4x - 4 - x^2 + x - 2}{x - 1} \leq 0$
$\frac{-x^2 + 5x - 6}{x - 1} \leq 0$
Умножим числитель на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} \geq 0$

5. Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $x_1=2, x_2=3$. Корень знаменателя $x - 1 = 0$ равен $x_3=1$.
Неравенство принимает вид $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 1} \geq 0$.
Наносим точки 1, 2, 3 на числовую прямую. Точки 2 и 3 — закрашенные (неравенство нестрогое), точка 1 — выколотая (знаменатель не может быть равен нулю).
Решением неравенства являются промежутки $(1, 2] \cup [3, +\infty)$.

6. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (1, 2] \cup [3, +\infty) \\ x \in (1, 4) \end{cases} \Rightarrow x \in (1, 2] \cup [3, 4)$.
Ответ: $x \in (1, 2] \cup [3, 4)$.

178. a) $ \lg (x^2 + x - 6) - \lg (x + 3) \le \lg 3; $

б) $ \log_3 \frac{3x-1}{2-x} < 1; $

в) $ \ln (x^2 + 3x - 10) - \ln (x - 2) \ge \ln 4; $

г) $ \log_3 \frac{3x-5}{x+1} \le 1. $

а) Решим логарифмическое неравенство $lg(x^2 + x - 6) - lg(x + 3) \le lg(3)$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$\begin{cases} x^2 + x - 6 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
Решая первое неравенство $x^2 + x - 6 > 0$, находим корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство верно для $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$.
Решая второе неравенство $x + 3 > 0$, получаем $x > -3$.
Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.
2. Преобразуем исходное неравенство, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:
$lg\left(\frac{x^2 + x - 6}{x + 3}\right) \le lg(3)$.
Поскольку основание логарифма $10 > 1$, то для аргументов знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2 + x - 6}{x + 3} \le 3$.
Разложим числитель на множители: $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$.
$\frac{(x-2)(x+3)}{x+3} \le 3$.
На ОДЗ ($x > 2$) выражение $x+3$ строго положительно, поэтому на него можно сократить:
$x - 2 \le 3$
$x \le 5$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 5 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow 2 < x \le 5$.
Ответ: $(2, 5]$.

б) Решим логарифмическое неравенство $\log_3 \frac{3x-1}{2-x} < 1$.
1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положителен:
$\frac{3x-1}{2-x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1/3$. Нуль знаменателя: $x=2$. На числовой оси отмечаем точки $1/3$ и $2$. Знаки выражения на интервалах $(-\infty, 1/3)$, $(1/3, 2)$, $(2, +\infty)$ соответственно: минус, плюс, минус. Нас интересует интервал, где выражение положительно. ОДЗ: $x \in (1/3, 2)$.
2. Решим само неравенство. Представим $1$ как $\log_3 3$:
$\log_3 \frac{3x-1}{2-x} < \log_3 3$.
Поскольку основание логарифма $3 > 1$, то для аргументов знак неравенства сохраняется:
$\frac{3x-1}{2-x} < 3$.
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x-1}{2-x} - 3 < 0$
$\frac{3x-1 - 3(2-x)}{2-x} < 0$
$\frac{3x-1 - 6 + 3x}{2-x} < 0$
$\frac{6x-7}{2-x} < 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=7/6$. Нуль знаменателя: $x=2$. Знаки на интервалах $(-\infty, 7/6)$, $(7/6, 2)$, $(2, +\infty)$ соответственно: минус, плюс, минус. Решение: $x \in (-\infty, 7/6) \cup (2, +\infty)$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$x \in (1/3, 2) \cap ((-\infty, 7/6) \cup (2, +\infty)) \Rightarrow x \in (1/3, 7/6)$.
Ответ: $(1/3, 7/6)$.

в) Решим логарифмическое неравенство $\ln(x^2 + 3x - 10) - \ln(x-2) \ge \ln 4$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$
Решая первое неравенство $x^2 + 3x - 10 > 0$, находим корни $x_1=-5, x_2=2$. Неравенство верно для $x \in (-\infty, -5) \cup (2, +\infty)$.
Решая второе неравенство $x - 2 > 0$, получаем $x > 2$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.
2. Преобразуем неравенство:
$\ln\left(\frac{x^2 + 3x - 10}{x-2}\right) \ge \ln 4$.
Поскольку основание натурального логарифма $e > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2 + 3x - 10}{x-2} \ge 4$.
Разложим числитель на множители: $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$.
$\frac{(x+5)(x-2)}{x-2} \ge 4$.
На ОДЗ ($x > 2$) выражение $x-2$ строго положительно, поэтому можно сократить:
$x+5 \ge 4$
$x \ge -1$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -1 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 2$.
Ответ: $(2, +\infty)$.

г) Решим логарифмическое неравенство $\log_3 \frac{3x-5}{x+1} \le 1$.
1. Найдём ОДЗ:
$\frac{3x-5}{x+1} > 0$.
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (5/3, +\infty)$.
2. Решим само неравенство. Представим $1$ как $\log_3 3$:
$\log_3 \frac{3x-5}{x+1} \le \log_3 3$.
Так как основание $3>1$, то:
$\frac{3x-5}{x+1} \le 3$.
$\frac{3x-5}{x+1} - 3 \le 0$.
$\frac{3x-5 - 3(x+1)}{x+1} \le 0$.
$\frac{3x-5 - 3x - 3}{x+1} \le 0$.
$\frac{-8}{x+1} \le 0$.
Так как числитель $-8$ отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго положителен:
$x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
3. Найдем пересечение решения $x > -1$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (5/3, +\infty)$.
Пересечением является интервал $(5/3, +\infty)$.
Ответ: $(5/3, +\infty)$.

179. a) $\log_2 (4^x - 5 \cdot 2^x + 8) > 2$;

Б) $\lg^2 x \ge \lg x + 2$;

б) $\log_{0.5}^2 x + 6 \ge 5 \log_{0.5} x$;

г) $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1} - 36^x) \ge -2$.

Решим логарифмическое неравенство $\log_2(4^x - 5 \cdot 2^x + 8) > 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 8 > 0$

Сделаем замену переменной $t = 2^x$. Поскольку $2^x$ всегда положительно, то $t > 0$. Неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 8 > 0$

Это квадратичная функция относительно $t$. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола $y = t^2 - 5t + 8$ полностью находится выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $t^2 - 5t + 8$ положительно при любых значениях $t$. Следовательно, ОДЗ для $x$ - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства при потенцировании сохраняется:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 8 > 2^2$

$4^x - 5 \cdot 2^x + 8 > 4$

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 > 0$

Снова используем замену $t = 2^x$ ($t > 0$):

$t^2 - 5t + 4 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t < 1$ или $t > 4$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $t < 1 \implies 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0$.

2) $t > 4 \implies 2^x > 4 \implies 2^x > 2^2 \implies x > 2$.

Объединяем полученные решения. ОДЗ не накладывает дополнительных ограничений.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Решим неравенство $\log_{0.5}^2 x + 6 \ge 5 \log_{0.5} x$.

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем все члены в левую часть и сделаем замену $t = \log_{0.5} x$:

$t^2 - 5t + 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $t \le 2$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_{0.5} x \le 2$. Так как основание логарифма $0.5 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge (0.5)^2 \implies x \ge \frac{1}{4}$.

2) $\log_{0.5} x \ge 3$. Снова меняем знак неравенства:

$x \le (0.5)^3 \implies x \le \frac{1}{8}$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два интервала: $x \ge \frac{1}{4}$ и $0 < x \le \frac{1}{8}$.

Объединяем эти решения.

Ответ: $(0; \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{4}; +\infty)$.

Решим неравенство $\lg^2 x \ge \lg x + 2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену $t = \lg x$ (десятичный логарифм):

$t^2 \ge t + 2$

$t^2 - t - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$. Корни $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$, то есть $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $t \le -1$ или $t \ge 2$.

Выполним обратную замену:

1) $\lg x \le -1$. Основание логарифма $10 > 1$, знак не меняется:

$x \le 10^{-1} \implies x \le 0.1$.

2) $\lg x \ge 2$. Знак не меняется:

$x \ge 10^2 \implies x \ge 100$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x \le 0.1$ и $x \ge 100$.

Ответ: $(0; 0.1] \cup [100; +\infty)$.

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} - 36^x) \ge -2$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:

$6^{x+1} - 36^x > 0$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 > 0$

Сделаем замену $y = 6^x$, где $y > 0$:

$6y - y^2 > 0 \implies y(6 - y) > 0$.

Так как $y > 0$, это неравенство равносильно $6 - y > 0$, то есть $y < 6$.

Получаем $0 < y < 6$. Возвращаемся к $x$: $0 < 6^x < 6^1$. Так как основание $6 > 1$, получаем $x < 1$. ОДЗ: $x \in (-\infty; 1)$.

Теперь решаем само неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{\sqrt{5}} < 1$, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$6^{x+1} - 36^x \le \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le (\frac{1}{5^{1/2}})^{-2}$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le (5^{-1/2})^{-2}$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le 5$

Снова делаем замену $y = 6^x$:

$6y - y^2 \le 5 \implies y^2 - 6y + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 6y + 5 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 1$, $y_2 = 5$.

Парабола ветвями вверх, решение неравенства: $y \le 1$ или $y \ge 5$.

Возвращаемся к $x$:

1) $y \le 1 \implies 6^x \le 1 \implies 6^x \le 6^0 \implies x \le 0$.

2) $y \ge 5 \implies 6^x \ge 5 \implies x \ge \log_6 5$.

Теперь пересечем полученные решения с ОДЗ ($x < 1$).

1) Интервал $x \le 0$ полностью входит в ОДЗ.

2) Для $x \ge \log_6 5$, заметим, что $\log_6 5 < \log_6 6 = 1$. Таким образом, пересечение с ОДЗ дает интервал $[\log_6 5; 1)$.

Объединяем оба случая.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [\log_6 5; 1)$.