Страница 307 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

222. a) $f(x) = \sin 3x + \cos 5x$;

б) $f(x) = \sqrt[4]{1+x^2} + \frac{1}{(2x-1)^3}$;

в) $f(x) = (3 - 2x^3)^5$;

г) $f(x) = \operatorname{lg} (3x) - 3 \operatorname{tg} \left(2x - \frac{\pi}{4}\right).$

Для нахождения производных данных функций будем использовать основные правила дифференцирования, такие как производная суммы/разности, производная степенной функции, а также правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

а) $f(x) = \sin 3x + \cos 5x$

Производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (\sin 3x)' + (\cos 5x)'$.

Применим правило дифференцирования сложной функции. Для $y = \sin(u(x))$ производная равна $y' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$. Для $y = \cos(u(x))$ производная равна $y' = -\sin(u(x)) \cdot u'(x)$.

1. Находим производную первого слагаемого, $\sin 3x$. Здесь внутренняя функция $u(x) = 3x$, ее производная $u'(x) = 3$.
$(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

2. Находим производную второго слагаемого, $\cos 5x$. Здесь внутренняя функция $u(x) = 5x$, ее производная $u'(x) = 5$.
$(\cos 5x)' = -\sin(5x) \cdot (5x)' = -\sin(5x) \cdot 5 = -5\sin(5x)$.

3. Складываем полученные результаты:
$f'(x) = 3\cos(3x) - 5\sin(5x)$.

Ответ: $f'(x) = 3\cos(3x) - 5\sin(5x)$

б) $f(x) = \sqrt[4]{1+x^2} + \frac{1}{(2x-1)^3}$

Перепишем функцию в виде со степенями для удобства дифференцирования: $f(x) = (1+x^2)^{1/4} + (2x-1)^{-3}$.

Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = ((1+x^2)^{1/4})' + ((2x-1)^{-3})'$.

Используем правило дифференцирования степенной функции для сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

1. Для первого слагаемого $u(x) = 1+x^2$, $n=1/4$. Производная внутренней функции $u'(x) = 2x$.
$((1+x^2)^{1/4})' = \frac{1}{4}(1+x^2)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{4}(1+x^2)^{-3/4} \cdot 2x = \frac{2x}{4(1+x^2)^{3/4}} = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}}$.

2. Для второго слагаемого $u(x) = 2x-1$, $n=-3$. Производная внутренней функции $u'(x) = 2$.
$((2x-1)^{-3})' = -3(2x-1)^{-3-1} \cdot (2x-1)' = -3(2x-1)^{-4} \cdot 2 = -6(2x-1)^{-4} = -\frac{6}{(2x-1)^4}$.

3. Складываем результаты:
$f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}} - \frac{6}{(2x-1)^4}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}} - \frac{6}{(2x-1)^4}$

в) $f(x) = (3 - 2x^3)^5$

Это сложная функция вида $y=u^5$, где $u = 3 - 2x^3$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции для сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

1. Находим производную внутренней функции: $u' = (3 - 2x^3)' = -2 \cdot 3x^2 = -6x^2$.

2. Подставляем в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = 5(3 - 2x^3)^{5-1} \cdot (3 - 2x^3)' = 5(3 - 2x^3)^4 \cdot (-6x^2)$.

3. Упрощаем выражение:
$f'(x) = -30x^2(3 - 2x^3)^4$.

Ответ: $f'(x) = -30x^2(3 - 2x^3)^4$

г) $f(x) = \lg(3x) - 3\tg(2x - \frac{\pi}{4})$

Производная разности функций равна разности их производных: $f'(x) = (\lg(3x))' - (3\tg(2x - \frac{\pi}{4}))'$.

1. Находим производную первого слагаемого, $\lg(3x)$. Производная десятичного логарифма $(\lg u)' = \frac{1}{u \ln 10} \cdot u'$. Здесь $u = 3x$, $u' = 3$.
$(\lg(3x))' = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot 3 = \frac{1}{x \ln 10}$.

2. Находим производную второго слагаемого, $3\tg(2x - \frac{\pi}{4})$. Производная тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'$. Здесь $u = 2x - \frac{\pi}{4}$, $u' = 2$.
$(3\tg(2x - \frac{\pi}{4}))' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \cdot (2x - \frac{\pi}{4})' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \cdot 2 = \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$.

3. Вычитаем вторую производную из первой:
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} - \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} - \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$

223. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

а) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1;$

б) $f(x) = 1.5 \sin 2x - 5 \sin x - x;$

в) $f(x) = - \frac{x^5}{5} + \frac{10x^3}{3} - 9x;$

г) $f(x) = x + \cos 2x.$

а) Дана функция $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.
Чтобы решить уравнение $f'(x) = 0$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^{4-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 4x^3 - 4x$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$4x^3 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Либо $4x = 0$, откуда $x = 0$.
Либо $x^2 - 1 = 0$, откуда $x^2 = 1$, что дает $x = 1$ и $x = -1$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x = -1; 0; 1$.

б) Дана функция $f(x) = 1,5 \sin 2x - 5 \sin x - x$.
Найдем производную функции, используя правила дифференцирования тригонометрических функций и правило дифференцирования сложной функции $(\sin(u(x)))' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$.
$f'(x) = (1,5 \sin 2x - 5 \sin x - x)' = 1,5 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' - 5 \cos x - 1 = 1,5 \cdot 2 \cos 2x - 5 \cos x - 1 = 3 \cos 2x - 5 \cos x - 1$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3 \cos 2x - 5 \cos x - 1 = 0$
Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $\cos x$.
$3(2\cos^2 x - 1) - 5 \cos x - 1 = 0$
$6\cos^2 x - 3 - 5 \cos x - 1 = 0$
$6\cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0$
Сделаем замену $y = \cos x$, где $|y| \le 1$.
$6y^2 - 5y - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Вернемся к замене. Первый корень $y_1 = \frac{4}{3}$ не подходит, так как $\cos x$ не может быть больше 1.
Рассмотрим второй корень: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Это стандартное тригонометрическое уравнение, решения которого: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем решения.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = -\frac{x^5}{5} + \frac{10x^3}{3} - 9x$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{5}x^5 + \frac{10}{3}x^3 - 9x)' = -\frac{1}{5} \cdot 5x^4 + \frac{10}{3} \cdot 3x^2 - 9 = -x^4 + 10x^2 - 9$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-x^4 + 10x^2 - 9 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):
$y^2 - 10y + 9 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$. Оба корня неотрицательные.
Вернемся к замене:
1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x = -3; -1; 1; 3$.

г) Дана функция $f(x) = x + \cos 2x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + \cos 2x)' = 1 - (\sin 2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\sin 2x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - 2\sin 2x = 0$
$2\sin 2x = 1$
$\sin 2x = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения задаются формулой:
$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

224. Функция задана графиком (рис. 153).

1) Укажите, в каких из отмеченных точек:

a) $f'(x) > 0;$

б) $f'(x) < 0;$

в) $f'(x) = 0.$

2) Укажите промежутки, на которых:

a) $f'(x) > 0;$

б) $f'(x) < 0;$

в) $f'(x) = 0.$

3) В каких точках интервала $(a; b)$ функция $f$ не имеет производной?

a) б) в) г) Рис. 153

График а)

Напомним, что знак производной функции $f'(x)$ в точке геометрически связан с поведением графика функции $f(x)$:

• Если $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• Если $f'(x) < 0$, функция убывает.
• Если $f'(x) = 0$, касательная к графику в этой точке горизонтальна (точка экстремума или перегиба с горизонтальной касательной).
• Производная не существует в точках "излома" или "заострения" графика.

а) $f'(x) > 0$
Производная положительна в тех точках, где функция возрастает. Глядя на график, мы видим, что функция возрастает в точке $x_3$.
Ответ: $x_3$.

б) $f'(x) < 0$
Производная отрицательна в тех точках, где функция убывает. Функция убывает в точках $x_1$ и $x_5$.
Ответ: $x_1, x_5$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов), где касательная горизонтальна. Это точки $x_2$ (локальный минимум) и $x_4$ (локальный максимум).
Ответ: $x_2, x_4$.

а) $f'(x) > 0$
Это промежутки, на которых функция $f(x)$ возрастает. Из графика видно, что это промежуток от $x_2$ до $x_4$.
Ответ: $(x_2; x_4)$.

б) $f'(x) < 0$
Это промежутки, на которых функция $f(x)$ убывает. Такими промежутками являются $(a; x_2)$ и $(x_4; b)$.
Ответ: $(a; x_2) \cup (x_4; b)$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю на всем промежутке, если функция на этом промежутке постоянна (ее график — горизонтальная линия). На данном графике таких промежутков нет.
Ответ: таких промежутков нет.

Функция не имеет производной в точках "излома" или "заострения". График а) является гладкой кривой на всем интервале $(a; b)$, поэтому таких точек нет.
Ответ: таких точек нет.

График б)

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает в точках $x_1$ и $x_8$.
Ответ: $x_1, x_8$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает в точке $x_6$.
Ответ: $x_6$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках $x_3$ и $x_4$, так как они лежат на участке, где функция постоянна, а также в точке $x_7$, которая является точкой гладкого локального минимума.
Ответ: $x_3, x_4, x_7$.

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает на промежутках $(a; x_2)$ и $(x_7; b)$.
Ответ: $(a; x_2) \cup (x_7; b)$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает на промежутке $(x_5; x_7)$.
Ответ: $(x_5; x_7)$.

в) $f'(x) = 0$
Функция постоянна (имеет нулевую производную) на промежутке $(x_2; x_5)$.
Ответ: $(x_2; x_5)$.

Производная не существует в точках "излома" графика. На данном графике это точки $x_2$ и $x_5$.
Ответ: $x_2, x_5$.

График в)

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает в точках $x_1$ и $x_4$.
Ответ: $x_1, x_4$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает в точках $x_3$ и $x_6$.
Ответ: $x_3, x_6$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках гладких экстремумов. Это точки $x_2$ (локальный максимум) и $x_5$ (локальный максимум). В точке $x=0$ экстремум есть (локальный минимум), но это точка излома, где производная не существует.
Ответ: $x_2, x_5$.

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает на промежутках $(a; x_2)$ и $(0; x_5)$.
Ответ: $(a; x_2) \cup (0; x_5)$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает на промежутках $(x_2; 0)$ и $(x_5; b)$.
Ответ: $(x_2; 0) \cup (x_5; b)$.

в) $f'(x) = 0$
На данном графике нет промежутков, где функция постоянна.
Ответ: таких промежутков нет.

Производная не существует в точке "заострения" (излома) графика. На данном графике это точка $x=0$.
Ответ: $0$.

График г)

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает в точке $x_3$.
Ответ: $x_3$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает в точках $x_2, x_5, x_6$.
Ответ: $x_2, x_5, x_6$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точке гладкого локального максимума $x_4$. В точке $x_1$ находится локальный минимум, но это точка излома, и производная в ней не существует.
Ответ: $x_4$.

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает на промежутке $(x_1; x_4)$.
Ответ: $(x_1; x_4)$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает на промежутках $(a; x_1)$ и $(x_4; b)$.
Ответ: $(a; x_1) \cup (x_4; b)$.

в) $f'(x) = 0$
На данном графике нет промежутков, где функция постоянна.
Ответ: таких промежутков нет.

Производная не существует в точке излома графика. На данном графике это точка $x_1$.
Ответ: $x_1$.