Номер 224, страница 307 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 224, страница 307.

Условие.

224. Функция задана графиком (рис. 153).

1) Укажите, в каких из отмеченных точек:

a) $f'(x) > 0;$

б) $f'(x) < 0;$

в) $f'(x) = 0.$

2) Укажите промежутки, на которых:

a) $f'(x) > 0;$

б) $f'(x) < 0;$

в) $f'(x) = 0.$

3) В каких точках интервала $(a; b)$ функция $f$ не имеет производной?

a) б) в) г) Рис. 153

Решение 1.

Решение 5.

График а)

Напомним, что знак производной функции $f'(x)$ в точке геометрически связан с поведением графика функции $f(x)$:

• Если $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• Если $f'(x) < 0$, функция убывает.
• Если $f'(x) = 0$, касательная к графику в этой точке горизонтальна (точка экстремума или перегиба с горизонтальной касательной).
• Производная не существует в точках "излома" или "заострения" графика.

1) Укажите, в каких из отмеченных точек:

а) $f'(x) > 0$
Производная положительна в тех точках, где функция возрастает. Глядя на график, мы видим, что функция возрастает в точке $x_3$.
Ответ: $x_3$.

б) $f'(x) < 0$
Производная отрицательна в тех точках, где функция убывает. Функция убывает в точках $x_1$ и $x_5$.
Ответ: $x_1, x_5$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов), где касательная горизонтальна. Это точки $x_2$ (локальный минимум) и $x_4$ (локальный максимум).
Ответ: $x_2, x_4$.

2) Укажите промежутки, на которых:

а) $f'(x) > 0$
Это промежутки, на которых функция $f(x)$ возрастает. Из графика видно, что это промежуток от $x_2$ до $x_4$.
Ответ: $(x_2; x_4)$.

б) $f'(x) < 0$
Это промежутки, на которых функция $f(x)$ убывает. Такими промежутками являются $(a; x_2)$ и $(x_4; b)$.
Ответ: $(a; x_2) \cup (x_4; b)$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю на всем промежутке, если функция на этом промежутке постоянна (ее график — горизонтальная линия). На данном графике таких промежутков нет.
Ответ: таких промежутков нет.

3) В каких точках интервала (a; b) функция f не имеет производной?

Функция не имеет производной в точках "излома" или "заострения". График а) является гладкой кривой на всем интервале $(a; b)$, поэтому таких точек нет.
Ответ: таких точек нет.

---

График б)

1) Укажите, в каких из отмеченных точек:

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает в точках $x_1$ и $x_8$.
Ответ: $x_1, x_8$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает в точке $x_6$.
Ответ: $x_6$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках $x_3$ и $x_4$, так как они лежат на участке, где функция постоянна, а также в точке $x_7$, которая является точкой гладкого локального минимума.
Ответ: $x_3, x_4, x_7$.

2) Укажите промежутки, на которых:

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает на промежутках $(a; x_2)$ и $(x_7; b)$.
Ответ: $(a; x_2) \cup (x_7; b)$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает на промежутке $(x_5; x_7)$.
Ответ: $(x_5; x_7)$.

в) $f'(x) = 0$
Функция постоянна (имеет нулевую производную) на промежутке $(x_2; x_5)$.
Ответ: $(x_2; x_5)$.

3) В каких точках интервала (a; b) функция f не имеет производной?

Производная не существует в точках "излома" графика. На данном графике это точки $x_2$ и $x_5$.
Ответ: $x_2, x_5$.

---

График в)

1) Укажите, в каких из отмеченных точек:

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает в точках $x_1$ и $x_4$.
Ответ: $x_1, x_4$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает в точках $x_3$ и $x_6$.
Ответ: $x_3, x_6$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках гладких экстремумов. Это точки $x_2$ (локальный максимум) и $x_5$ (локальный максимум). В точке $x=0$ экстремум есть (локальный минимум), но это точка излома, где производная не существует.
Ответ: $x_2, x_5$.

2) Укажите промежутки, на которых:

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает на промежутках $(a; x_2)$ и $(0; x_5)$.
Ответ: $(a; x_2) \cup (0; x_5)$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает на промежутках $(x_2; 0)$ и $(x_5; b)$.
Ответ: $(x_2; 0) \cup (x_5; b)$.

в) $f'(x) = 0$
На данном графике нет промежутков, где функция постоянна.
Ответ: таких промежутков нет.

3) В каких точках интервала (a; b) функция f не имеет производной?

Производная не существует в точке "заострения" (излома) графика. На данном графике это точка $x=0$.
Ответ: $0$.

---

График г)

1) Укажите, в каких из отмеченных точек:

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает в точке $x_3$.
Ответ: $x_3$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает в точках $x_2, x_5, x_6$.
Ответ: $x_2, x_5, x_6$.

в) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точке гладкого локального максимума $x_4$. В точке $x_1$ находится локальный минимум, но это точка излома, и производная в ней не существует.
Ответ: $x_4$.

2) Укажите промежутки, на которых:

а) $f'(x) > 0$
Функция возрастает на промежутке $(x_1; x_4)$.
Ответ: $(x_1; x_4)$.

б) $f'(x) < 0$
Функция убывает на промежутках $(a; x_1)$ и $(x_4; b)$.
Ответ: $(a; x_1) \cup (x_4; b)$.

в) $f'(x) = 0$
На данном графике нет промежутков, где функция постоянна.
Ответ: таких промежутков нет.

3) В каких точках интервала (a; b) функция f не имеет производной?

Производная не существует в точке излома графика. На данном графике это точка $x_1$.
Ответ: $x_1$.