Номер 219, страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 219, страница 306.

Условие.

Найдите производные функций (219—222).

219. а) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + 5$

б) $f(x) = (4 - x^2) \sin x$

в) $f(x) = (x^2 + 5)(x^3 - 2x + 2)$

г) $f(x) = \frac{\cos x}{2 - x^3}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + 5$. Для нахождения производной этой функции, которая является многочленом, воспользуемся правилом дифференцирования суммы/разности функций и формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю. Дифференцируем функцию по слагаемым: $f'(x) = (\frac{1}{4}x^4)' - (\frac{1}{3}x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' - (x)' + (5)'$. Применяя правила, получаем: $f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 1 \cdot x^{1-1} + 0$. После упрощения выражения: $f'(x) = x^3 - x^2 + x - 1$. Ответ: $f'(x) = x^3 - x^2 + x - 1$.

б) Дана функция $f(x) = (4 - x^2) \sin x$. Это произведение двух функций: $u(x) = 4 - x^2$ и $v(x) = \sin x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Сначала найдем производные сомножителей: $u'(x) = (4 - x^2)' = -2x$. $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Теперь подставим найденные производные в формулу: $f'(x) = u'v + uv' = (-2x) \cdot \sin x + (4 - x^2) \cdot \cos x = -2x \sin x + (4 - x^2) \cos x$. Ответ: $f'(x) = -2x \sin x + (4 - x^2) \cos x$.

в) Дана функция $f(x) = (x^2 + 5)(x^3 - 2x + 2)$. Это произведение двух функций: $u(x) = x^2 + 5$ и $v(x) = x^3 - 2x + 2$. Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Найдем производные сомножителей: $u'(x) = (x^2 + 5)' = 2x$. $v'(x) = (x^3 - 2x + 2)' = 3x^2 - 2$. Подставляем в формулу и получаем: $f'(x) = u'v + uv' = (2x)(x^3 - 2x + 2) + (x^2 + 5)(3x^2 - 2)$. Раскроем скобки: $f'(x) = (2x^4 - 4x^2 + 4x) + (3x^4 - 2x^2 + 15x^2 - 10)$. Приведем подобные слагаемые: $f'(x) = (2x^4 + 3x^4) + (-4x^2 - 2x^2 + 15x^2) + 4x - 10 = 5x^4 + 9x^2 + 4x - 10$. Ответ: $f'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 4x - 10$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{2 - x^3}$. Это частное двух функций: $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 2 - x^3$. Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Найдем производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$. $v'(x) = (2 - x^3)' = -3x^2$. Подставляем в формулу: $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-\sin x)(2 - x^3) - (\cos x)(-3x^2)}{(2 - x^3)^2}$. Упростим числитель: $f'(x) = \frac{-2\sin x + x^3\sin x + 3x^2\cos x}{(2 - x^3)^2} = \frac{3x^2\cos x + x^3\sin x - 2\sin x}{(2 - x^3)^2}$. Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2\cos x + x^3\sin x - 2\sin x}{(2 - x^3)^2}$.