Номер 216, страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 216, страница 306.

Условие.

216. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

Решение 1.

Решение 5.

Пусть искомые натуральные числа равны $x$ и $y$. По условию задачи, разность их квадратов равна 55. Запишем это в виде уравнения:

$x^2 - y^2 = 55$

Мы ищем решения в натуральных числах, то есть $x, y \in \mathbb{N}$, где $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-y)(x+y) = 55$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $(x-y)$ и $(x+y)$ являются целыми числами. Так как их произведение равно 55 (положительное число), они должны быть одного знака. Сумма $x+y$ очевидно положительна, так как $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Следовательно, и разность $x-y$ тоже должна быть положительной, что означает $x > y$.

Таким образом, нам нужно найти два натуральных числа, $(x-y)$ и $(x+y)$, произведение которых равно 55. Эти числа являются делителями числа 55. Также заметим, что так как $x > 0$ и $y > 0$, то $x+y > x-y$.

Разложим число 55 на все возможные пары натуральных множителей, где первый множитель меньше второго:

• 1 и 55
• 5 и 11

Это дает нам две возможные системы уравнений.

Рассмотрим первую систему, где множители равны 1 и 55:

$\begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 55 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 1 + 55$, что дает $2x = 56$, откуда $x = 28$.

Подставив $x = 28$ во второе уравнение, получим $28 + y = 55$, откуда $y = 27$.

Получили первую пару натуральных чисел $(28, 27)$. Проверка: $28^2 - 27^2 = 784 - 729 = 55$.

Рассмотрим вторую систему, где множители равны 5 и 11:

$\begin{cases} x-y = 5 \\ x+y = 11 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 5 + 11$, что дает $2x = 16$, откуда $x = 8$.

Подставив $x = 8$ во второе уравнение, получим $8 + y = 11$, откуда $y = 3$.

Получили вторую пару натуральных чисел $(8, 3)$. Проверка: $8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55$.

Других пар натуральных делителей у числа 55 нет, следовательно, мы нашли все возможные решения.

Ответ: $(28, 27)$ и $(8, 3)$.