Номер 210, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 210, страница 305.

Условие.

210. На заводе для изготовления одного электродвигателя типа А расходуется 2 кг меди и 1 кг свинца, на изготовление одного электродвигателя типа B – 3 кг меди и 2 кг свинца. Сколько электродвигателей каждого типа было изготовлено, если всего израсходовали 130 кг меди и 80 кг свинца?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это количество изготовленных электродвигателей типа А.

Пусть $y$ — это количество изготовленных электродвигателей типа B.

Исходя из данных о расходе материалов, составим два уравнения.

Первое уравнение будет отражать общий расход меди. На изготовление $x$ двигателей типа А ушло $2x$ кг меди, а на $y$ двигателей типа B — $3y$ кг меди. Всего было израсходовано 130 кг меди, следовательно:

$2x + 3y = 130$

Второе уравнение будет отражать общий расход свинца. На изготовление $x$ двигателей типа А ушел $x$ кг свинца (т.к. 1 кг на двигатель), а на $y$ двигателей типа B — $2y$ кг свинца. Всего было израсходовано 80 кг свинца, следовательно:

$x + 2y = 80$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 2x + 3y = 130 \\ x + 2y = 80 \end{cases}$

Для решения системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 80 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2(80 - 2y) + 3y = 130$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$160 - 4y + 3y = 130$

$160 - y = 130$

Перенесем $y$ в правую часть, а 130 — в левую:

$y = 160 - 130$

$y = 30$

Таким образом, было изготовлено 30 электродвигателей типа B. Теперь найдем количество электродвигателей типа А, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 80 - 2y = 80 - 2 \cdot 30$

$x = 80 - 60$

$x = 20$

Итак, было изготовлено 20 электродвигателей типа А.

Проверим правильность решения, подставив значения $x=20$ и $y=30$ в исходные условия:

Расход меди: $2 \cdot 20 + 3 \cdot 30 = 40 + 90 = 130$ кг. (Верно)

Расход свинца: $1 \cdot 20 + 2 \cdot 30 = 20 + 60 = 80$ кг. (Верно)

Ответ: было изготовлено 20 электродвигателей типа А и 30 электродвигателей типа B.