Номер 212, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 212, страница 305.
№212 (с. 305)
Условие. №212 (с. 305)
скриншот условия

212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно $1,2\text{ г/см}^3$ и $1,6\text{ г/см}^3$, составлена смесь массой $60\text{ г}$. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плотность смеси, если ее $8\text{ см}^3$ имеют такую же массу, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей?
Решение 1. №212 (с. 305)

Решение 5. №212 (с. 305)
Для решения задачи введем следующие обозначения:
$\rho_1 = 1,2$ г/см³ — плотность первой, менее тяжелой жидкости;
$\rho_2 = 1,6$ г/см³ — плотность второй, более тяжелой жидкости;
$m_1$ и $V_1$ — масса и объем первой жидкости соответственно;
$m_2$ и $V_2$ — масса и объем второй жидкости соответственно;
$m_{смеси} = 60$ г — общая масса смеси;
$\rho_{смеси}$ и $V_{смеси}$ — плотность и объем смеси.
Общая масса смеси является суммой масс ее компонентов:
$m_1 + m_2 = m_{смеси} \implies m_1 + m_2 = 60 \quad (1)$
По условию задачи, масса $8$ см³ смеси равна массе всей менее тяжелой жидкости ($m_1$). Массу части смеси можно выразить через ее плотность $\rho_{смеси}$:
$m_1 = \rho_{смеси} \cdot 8 \quad (2)$
Плотность смеси $\rho_{смеси}$ определяется как отношение общей массы к общему объему. Предполагая, что объемы жидкостей при смешивании складываются, общий объем $V_{смеси}$ равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:
$V_{смеси} = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$
Тогда формула для плотности смеси выглядит так:
$\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}} \quad (3)$
Теперь мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($m_1$, $m_2$, $\rho_{смеси}$). Для ее решения подставим выражения из уравнений (1) и (2) в уравнение (3).
Из (1) получаем: $m_2 = 60 - m_1$.
Из (2) получаем: $\rho_{смеси} = \frac{m_1}{8}$.
Подставляем в (3):
$\frac{m_1}{8} = \frac{60}{\frac{m_1}{1,2} + \frac{60 - m_1}{1,6}}$
Решим это уравнение относительно $m_1$. Сначала преобразуем знаменатель дроби в правой части, приведя его к общему знаменателю $1,2 \cdot 1,6 = 1,92$:
$\frac{m_1}{8} = \frac{60}{\frac{1,6 \cdot m_1 + 1,2 \cdot (60 - m_1)}{1,92}}$
$\frac{m_1}{8} = \frac{60 \cdot 1,92}{1,6 m_1 + 72 - 1,2 m_1}$
$\frac{m_1}{8} = \frac{115,2}{0,4 m_1 + 72}$
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$m_1 \cdot (0,4 m_1 + 72) = 8 \cdot 115,2$
$0,4 m_1^2 + 72 m_1 = 921,6$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0,4 m_1^2 + 72 m_1 - 921,6 = 0$
Умножим уравнение на 10 и разделим на 4 для упрощения:
$4 m_1^2 + 720 m_1 - 9216 = 0 \quad | : 4$
$m_1^2 + 180 m_1 - 2304 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 180^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2304) = 32400 + 9216 = 41616$
$\sqrt{D} = \sqrt{41616} = 204$
Находим корни:
$m_{1,1} = \frac{-180 + 204}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$m_{1,2} = \frac{-180 - 204}{2} = -192$
Масса не может быть отрицательной, поэтому физический смысл имеет только первый корень: $m_1 = 12$ г.
Сколько граммов каждой жидкости в смеси
Масса менее тяжелой жидкости: $m_1 = 12$ г.
Массу более тяжелой жидкости найдем из уравнения (1):
$m_2 = 60 - m_1 = 60 - 12 = 48$ г.
Ответ: в смеси содержится 12 г жидкости с плотностью 1,2 г/см³ и 48 г жидкости с плотностью 1,6 г/см³.
какова плотность смеси
Плотность смеси найдем из уравнения (2):
$\rho_{смеси} = \frac{m_1}{8} = \frac{12 \text{ г}}{8 \text{ см}^3} = 1,5$ г/см³.
Для проверки можно рассчитать плотность через общую массу и общий объем.
Объем первой жидкости: $V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{12}{1,2} = 10$ см³.
Объем второй жидкости: $V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{48}{1,6} = 30$ см³.
Общий объем смеси: $V_{смеси} = V_1 + V_2 = 10 + 30 = 40$ см³.
Плотность смеси: $\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{60}{40} = 1,5$ г/см³.
Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.
Ответ: плотность смеси составляет 1,5 г/см³.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 212 расположенного на странице 305 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №212 (с. 305), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.