Номер 212, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 212, страница 305.

Условие.

212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно $1,2\text{ г/см}^3$ и $1,6\text{ г/см}^3$, составлена смесь массой $60\text{ г}$. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плотность смеси, если ее $8\text{ см}^3$ имеют такую же массу, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$\rho_1 = 1,2$ г/см³ — плотность первой, менее тяжелой жидкости;

$\rho_2 = 1,6$ г/см³ — плотность второй, более тяжелой жидкости;

$m_1$ и $V_1$ — масса и объем первой жидкости соответственно;

$m_2$ и $V_2$ — масса и объем второй жидкости соответственно;

$m_{смеси} = 60$ г — общая масса смеси;

$\rho_{смеси}$ и $V_{смеси}$ — плотность и объем смеси.

Общая масса смеси является суммой масс ее компонентов:

$m_1 + m_2 = m_{смеси} \implies m_1 + m_2 = 60 \quad (1)$

По условию задачи, масса $8$ см³ смеси равна массе всей менее тяжелой жидкости ($m_1$). Массу части смеси можно выразить через ее плотность $\rho_{смеси}$:

$m_1 = \rho_{смеси} \cdot 8 \quad (2)$

Плотность смеси $\rho_{смеси}$ определяется как отношение общей массы к общему объему. Предполагая, что объемы жидкостей при смешивании складываются, общий объем $V_{смеси}$ равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:

$V_{смеси} = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$

Тогда формула для плотности смеси выглядит так:

$\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}} \quad (3)$

Теперь мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($m_1$, $m_2$, $\rho_{смеси}$). Для ее решения подставим выражения из уравнений (1) и (2) в уравнение (3).

Из (1) получаем: $m_2 = 60 - m_1$.

Из (2) получаем: $\rho_{смеси} = \frac{m_1}{8}$.

Подставляем в (3):

$\frac{m_1}{8} = \frac{60}{\frac{m_1}{1,2} + \frac{60 - m_1}{1,6}}$

Решим это уравнение относительно $m_1$. Сначала преобразуем знаменатель дроби в правой части, приведя его к общему знаменателю $1,2 \cdot 1,6 = 1,92$:

$\frac{m_1}{8} = \frac{60}{\frac{1,6 \cdot m_1 + 1,2 \cdot (60 - m_1)}{1,92}}$

$\frac{m_1}{8} = \frac{60 \cdot 1,92}{1,6 m_1 + 72 - 1,2 m_1}$

$\frac{m_1}{8} = \frac{115,2}{0,4 m_1 + 72}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$m_1 \cdot (0,4 m_1 + 72) = 8 \cdot 115,2$

$0,4 m_1^2 + 72 m_1 = 921,6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0,4 m_1^2 + 72 m_1 - 921,6 = 0$

Умножим уравнение на 10 и разделим на 4 для упрощения:

$4 m_1^2 + 720 m_1 - 9216 = 0 \quad | : 4$

$m_1^2 + 180 m_1 - 2304 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 180^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2304) = 32400 + 9216 = 41616$

$\sqrt{D} = \sqrt{41616} = 204$

Находим корни:

$m_{1,1} = \frac{-180 + 204}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$m_{1,2} = \frac{-180 - 204}{2} = -192$

Масса не может быть отрицательной, поэтому физический смысл имеет только первый корень: $m_1 = 12$ г.

Сколько граммов каждой жидкости в смеси

Масса менее тяжелой жидкости: $m_1 = 12$ г.

Массу более тяжелой жидкости найдем из уравнения (1):

$m_2 = 60 - m_1 = 60 - 12 = 48$ г.

Ответ: в смеси содержится 12 г жидкости с плотностью 1,2 г/см³ и 48 г жидкости с плотностью 1,6 г/см³.

какова плотность смеси

Плотность смеси найдем из уравнения (2):

$\rho_{смеси} = \frac{m_1}{8} = \frac{12 \text{ г}}{8 \text{ см}^3} = 1,5$ г/см³.

Для проверки можно рассчитать плотность через общую массу и общий объем.

Объем первой жидкости: $V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{12}{1,2} = 10$ см³.

Объем второй жидкости: $V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{48}{1,6} = 30$ см³.

Общий объем смеси: $V_{смеси} = V_1 + V_2 = 10 + 30 = 40$ см³.

Плотность смеси: $\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{60}{40} = 1,5$ г/см³.

Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: плотность смеси составляет 1,5 г/см³.