Номер 217, страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 217, страница 306.

Условие.

217. Найдите отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ для функции $f$, если:

a) $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x = 0,1$;

б) $f(x) = \sqrt{x-1}$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,21$;

в) $f(x) = 3 - 2x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,2$.

Решение 1.

Решение 5.

Отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$ в точке $x_0$ вычисляется по формуле:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

а)

Дано: $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x = 0,1$.
1. Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + \Delta x = 1 + 0,1 = 1,1$.
2. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} = 0,5$.
3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,1) = \frac{1}{2} \cdot (1,1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,21 = 0,605$.
4. Найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 0,605 - 0,5 = 0,105$.
5. Найдем искомое отношение:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{0,105}{0,1} = 1,05$.
Ответ: 1,05.

б)

Дано: $f(x) = \sqrt{x-1}$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,21$.
1. Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + \Delta x = 2 + 0,21 = 2,21$.
2. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.
3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(2,21) = \sqrt{2,21 - 1} = \sqrt{1,21} = 1,1$.
4. Найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 1,1 - 1 = 0,1$.
5. Найдем искомое отношение:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{0,1}{0,21} = \frac{10}{21}$.
Ответ: $\frac{10}{21}$.

в)

Дано: $f(x) = 3 - 2x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,2$.
1. Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + \Delta x = 2 + 0,2 = 2,2$.
2. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(2,2) = 3 - 2 \cdot 2,2 = 3 - 4,4 = -1,4$.
4. Найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -1,4 - (-1) = -1,4 + 1 = -0,4$.
5. Найдем искомое отношение:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-0,4}{0,2} = -2$.
Примечание: для линейной функции $f(x)=kx+b$ отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ всегда равно угловому коэффициенту $k$. В данном случае $k=-2$, поэтому результат не зависит от $x_0$ и $\Delta x$.
Ответ: -2.