Номер 213, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 213, страница 305.

Условие.

213. Вычислите массу и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84%-ной массовой долей серебра.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $m$ — масса исходного сплава в кг.
• Пусть $x$ — массовая доля серебра в исходном сплаве (в долях от единицы).

Следовательно, масса чистого серебра в исходном сплаве равна $m \cdot x$.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. Первый случай: К исходному сплаву добавляют 3 кг чистого серебра.
Масса нового сплава становится $m+3$ кг, а масса серебра в нем — $m \cdot x + 3$ кг. Массовая доля серебра в новом сплаве составляет 90% (или 0,9).
Составим уравнение:

$\frac{m \cdot x + 3}{m + 3} = 0,9$

$m \cdot x + 3 = 0,9(m + 3)$

$m \cdot x + 3 = 0,9m + 2,7$

$m \cdot x - 0,9m = 2,7 - 3$

$m(x - 0,9) = -0,3$

$m = \frac{0,3}{0,9 - x}$

2. Второй случай: К исходному сплаву добавляют 2 кг сплава, содержащего 90% серебра.
Масса серебра в добавленном сплаве: $2 \cdot 0,9 = 1,8$ кг.
Масса конечного сплава становится $m+2$ кг, а общая масса серебра в нем — $m \cdot x + 1,8$ кг. Массовая доля серебра в конечном сплаве составляет 84% (или 0,84).
Составим второе уравнение:

$\frac{m \cdot x + 1,8}{m + 2} = 0,84$

$m \cdot x + 1,8 = 0,84(m + 2)$

$m \cdot x + 1,8 = 0,84m + 1,68$

$m \cdot x - 0,84m = 1,68 - 1,8$

$m(x - 0,84) = -0,12$

$m = \frac{0,12}{0,84 - x}$

Теперь, когда у нас есть два выражения для массы $m$, мы можем приравнять их, чтобы найти неизвестную массовую долю $x$.

Массовая доля серебра в сплаве

Приравниваем правые части полученных уравнений:

$\frac{0,3}{0,9 - x} = \frac{0,12}{0,84 - x}$

Решаем уравнение методом пропорции:

$0,3 \cdot (0,84 - x) = 0,12 \cdot (0,9 - x)$

Для удобства вычислений умножим обе части на 100:

$30 \cdot (0,84 - x) = 12 \cdot (0,9 - x)$

Разделим обе части на 6:

$5 \cdot (0,84 - x) = 2 \cdot (0,9 - x)$

$4,2 - 5x = 1,8 - 2x$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$4,2 - 1,8 = 5x - 2x$

$2,4 = 3x$

$x = \frac{2,4}{3} = 0,8$

Массовая доля серебра в исходном сплаве равна 0,8. Чтобы выразить ее в процентах, умножим на 100%.

$0,8 \cdot 100\% = 80\%$

Ответ: массовая доля серебра в сплаве составляет 80%.

Масса серебра в сплаве

Сначала найдем общую массу исходного сплава $m$, подставив найденное значение $x = 0,8$ в любое из ранее выведенных уравнений. Воспользуемся первым:

$m = \frac{0,3}{0,9 - x} = \frac{0,3}{0,9 - 0,8} = \frac{0,3}{0,1} = 3 \text{ кг}$

Масса исходного сплава равна 3 кг. Теперь можем вычислить массу серебра в этом сплаве:

Масса серебра = $m \cdot x = 3 \text{ кг} \cdot 0,8 = 2,4 \text{ кг}$

Ответ: масса серебра в сплаве составляет 2,4 кг.