Номер 206, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 206, страница 305.

Условие.

206. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи обозначим начальную массу воды в растворе через $x$ (в граммах).

Исходные данные:

• Масса соли $m_{соли} = 40$ г.
• Начальная масса воды $m_{воды1} = x$ г.
• Начальная масса раствора $m_{раствора1} = m_{соли} + m_{воды1} = 40 + x$ г.

Начальная массовая доля соли ($\omega_1$) в растворе вычисляется как отношение массы соли к массе всего раствора:

$\omega_1 = \frac{m_{соли}}{m_{раствора1}} = \frac{40}{40 + x}$

После добавления 200 г воды, параметры раствора изменились:

• Конечная масса воды $m_{воды2} = x + 200$ г.
• Конечная масса раствора $m_{раствора2} = m_{раствора1} + 200 = (40 + x) + 200 = x + 240$ г.

Новая массовая доля соли ($\omega_2$) в растворе:

$\omega_2 = \frac{m_{соли}}{m_{раствора2}} = \frac{40}{x + 240}$

По условию задачи, массовая доля соли уменьшилась на 10%. В долях от единицы это составляет 0,1. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$\omega_1 - \omega_2 = 0.1$

Подставим в него полученные выражения для $\omega_1$ и $\omega_2$:

$\frac{40}{40 + x} - \frac{40}{x + 240} = 0.1$

Решим это уравнение относительно $x$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{40(x + 240) - 40(40 + x)}{(40 + x)(x + 240)} = 0.1$

$\frac{40x + 9600 - 1600 - 40x}{x^2 + 240x + 40x + 9600} = 0.1$

$\frac{8000}{x^2 + 280x + 9600} = 0.1$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель дроби:

$8000 = 0.1(x^2 + 280x + 9600)$

Разделим обе части на 0,1 (то есть умножим на 10):

$80000 = x^2 + 280x + 9600$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 280x + 9600 - 80000 = 0$

$x^2 + 280x - 70400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 280^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70400) = 78400 + 281600 = 360000$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-280 + \sqrt{360000}}{2 \cdot 1} = \frac{-280 + 600}{2} = \frac{320}{2} = 160$

$x_2 = \frac{-280 - \sqrt{360000}}{2 \cdot 1} = \frac{-280 - 600}{2} = \frac{-880}{2} = -440$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, правильным решением является $x = 160$.

Сколько воды содержал раствор

Начальная масса воды в растворе, которую мы обозначили как $x$, составляет 160 г.

Ответ: 160 г.

какова была в нем массовая доля соли

Начальная массовая доля соли ($\omega_1$) рассчитывается по формуле с использованием найденного значения $x=160$ г:

$\omega_1 = \frac{40}{40 + 160} = \frac{40}{200} = 0.2$

Чтобы выразить массовую долю в процентах, необходимо умножить полученное значение на 100%:

$0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: 20%.