Номер 200, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 200, страница 304.

Условие.

200. После встречи двух теплоходов один из них пошел на юг, а другой — на запад. Через 2 ч после встречи расстояние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого теплохода, если известно, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть скорость одного теплохода, который пошел на запад, равна $x$ км/ч. Тогда скорость другого теплохода, который пошел на юг, равна $(x + 6)$ км/ч, так как она на 6 км/ч больше.

За время $t = 2$ часа первый теплоход пройдет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = x \cdot 2 = 2x$ км. Второй теплоход за то же время пройдет расстояние $S_2 = v_2 \cdot t = (x + 6) \cdot 2 = 2(x + 6)$ км.

Поскольку теплоходы движутся по перпендикулярным направлениям (один на юг, другой на запад), их пути образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между ними через 2 часа является гипотенузой этого треугольника. По условию, длина этой гипотенузы составляет $d = 60$ км.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $S_1^2 + S_2^2 = d^2$.

Подставим выражения для расстояний в формулу: $(2x)^2 + (2(x+6))^2 = 60^2$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала возведем в квадрат: $4x^2 + 4(x+6)^2 = 3600$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 4: $x^2 + (x+6)^2 = 900$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + (x^2 + 12x + 36) = 900$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $2x^2 + 12x + 36 - 900 = 0$ $2x^2 + 12x - 864 = 0$

Снова упростим уравнение, разделив все его члены на 2: $x^2 + 6x - 432 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$ $x_1 = \frac{-6 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18$ $x_2 = \frac{-6 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -24$ не является решением задачи. Следовательно, скорость одного теплохода равна $x = 18$ км/ч.

Скорость второго теплохода на 6 км/ч больше: $x + 6 = 18 + 6 = 24$ км/ч.

Ответ: скорость одного теплохода 18 км/ч, а скорость другого — 24 км/ч.