Номер 197, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 197, страница 304.

Условие.

197. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния 325 км, при составлении нового расписания движения автобусов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $S$ — расстояние, которое должен проехать автобус, $v_1$ и $t_1$ — средняя скорость и время движения по старому расписанию, а $v_2$ и $t_2$ — средняя скорость и время движения по новому расписанию.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Расстояние: $S = 325$ км.
• Разница во времени: время по новому расписанию на 40 минут меньше. Переведем минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$. Таким образом, $t_1 - t_2 = \frac{2}{3}$.
• Разница в скорости: скорость по новому расписанию на 10 км/ч больше. Таким образом, $v_2 = v_1 + 10$.

Основная формула, связывающая расстояние, скорость и время: $S = v \cdot t$, откуда $t = \frac{S}{v}$.

Выразим время движения через скорость для обоих расписаний:

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{325}{v_1}$

$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{325}{v_2}$

Подставим эти выражения в уравнение разницы во времени $t_1 - t_2 = \frac{2}{3}$:

$\frac{325}{v_1} - \frac{325}{v_2} = \frac{2}{3}$

Нам нужно найти $v_2$. Выразим $v_1$ через $v_2$ из уравнения разницы скоростей: $v_1 = v_2 - 10$. Подставим это выражение в наше основное уравнение:

$\frac{325}{v_2 - 10} - \frac{325}{v_2} = \frac{2}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $v_2$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_2(v_2 - 10)$:

$\frac{325v_2 - 325(v_2 - 10)}{v_2(v_2 - 10)} = \frac{2}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{325v_2 - 325v_2 + 3250}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{2}{3}$

$\frac{3250}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{2}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot (v_2^2 - 10v_2) = 3 \cdot 3250$

$2v_2^2 - 20v_2 = 9750$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2v_2^2 - 20v_2 - 9750 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$v_2^2 - 10v_2 - 4875 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4875) = 100 + 19500 = 19600$

Найдем корни уравнения: $v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_{2,1} = \frac{10 + \sqrt{19600}}{2} = \frac{10 + 140}{2} = \frac{150}{2} = 75$

$v_{2,2} = \frac{10 - \sqrt{19600}}{2} = \frac{10 - 140}{2} = \frac{-130}{2} = -65$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{2,2} = -65$ не является решением задачи. Следовательно, средняя скорость движения автобуса по новому расписанию составляет 75 км/ч.

Ответ: 75 км/ч.