Номер 203, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 203, страница 304.

Условие.

203. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Это задача на совместную работу. Примем весь объем работы (посадку деревьев) за 1.

Пусть $x$ — количество дней, за которое вторая, более медленная, бригада выполнит всю работу самостоятельно.

По условию, первая бригада может выполнить ту же работу на 6 дней раньше. Следовательно, время работы первой бригады составляет $(x - 6)$ дней. Важно отметить, что $x > 6$, так как время не может быть отрицательным.

Теперь определим производительность каждой бригады (какую часть работы они выполняют за один день):

• Производительность первой бригады: $P_1 = 1 / (x - 6)$
• Производительность второй бригады: $P_2 = 1 / x$

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность $P_{совм} = P_1 + P_2 = 1 / (x - 6) + 1 / x$.

Известно, что работая вместе, бригады закончили посадку за 4 дня. Это значит, что их совместная производительность равна $1/4$ всей работы в день.

Составим уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:

$1 / (x - 6) + 1 / x = 1 / 4$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 6)$:

$(x + (x - 6)) / (x(x - 6)) = 1 / 4$

$(2x - 6) / (x^2 - 6x) = 1 / 4$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$4(2x - 6) = 1(x^2 - 6x)$

$8x - 24 = x^2 - 6x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 8x + 24 = 0$

$x^2 - 14x + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для вычисления корней через дискриминант.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = (-b - \sqrt{D}) / (2a) = (14 - \sqrt{100}) / 2 = (14 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2$

$x_2 = (-b + \sqrt{D}) / (2a) = (14 + \sqrt{100}) / 2 = (14 + 10) / 2 = 24 / 2 = 12$

Проверим найденные корни на соответствие условию задачи.

Корень $x_1 = 2$ не подходит, так как в этом случае время работы первой бригады было бы $x - 6 = 2 - 6 = -4$ дня, что физически невозможно.

Корень $x_2 = 12$ подходит. В этом случае:

• Время второй (более медленной) бригады: $x = 12$ дней.
• Время первой (более быстрой) бригады: $x - 6 = 12 - 6 = 6$ дней.

Оба значения положительны и удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: одной бригаде для выполнения работы потребовалось бы 6 дней, а другой — 12 дней.