Номер 196, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 196, страница 303.

Условие.

196. a) $\begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 2y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}} = 81, \\ \lg \sqrt{xy} = 1 + \lg 3; \end{cases}$

В) $\begin{cases} \log_9 x - \log_3 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 2 \log_2 x - 3^y = 15, \\ 3^y \log_2 x = 2 \log_2 x + 3^{y+1}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 2y^2 = 8; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_4 x - \log_2 y = 0$

$\log_{2^2} x - \log_2 y = 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 y = 0$

$\log_2 x^{1/2} = \log_2 y$

$\log_2 \sqrt{x} = \log_2 y$

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$\sqrt{x} = y$

Так как $y > 0$, можно возвести обе части в квадрат: $x = y^2$.

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y^2)^2 - 2y^2 = 8$

$y^4 - 2y^2 - 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$. Так как $y > 0$, то $z > 0$.

$z^2 - 2z - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

$z_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$z_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Корень $z_2 = -2$ не удовлетворяет условию $z > 0$. Следовательно, $z=4$.

Вернемся к переменной $y$:

$y^2 = 4$

Так как по ОДЗ $y > 0$, то $y = 2$.

Найдем $x$:

$x = y^2 = 2^2 = 4$.

Полученное решение $(4; 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0, 2 > 0$).

Проверим решение, подставив в исходную систему:

$\log_4 4 - \log_2 2 = 1 - 1 = 0$

$4^2 - 2 \cdot 2^2 = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(4; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} = 81, \\ \lg \sqrt{xy} = 1 + \lg 3; \end{cases} $

Найдем ОДЗ. Из-за наличия квадратных корней и логарифма, переменные должны удовлетворять условиям $x \ge 0, y \ge 0$ и $xy > 0$. Отсюда следует, что $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$3^{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} = 3^4$

$2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4$

Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов ($\lg 10 = 1$ и $\lg a + \lg b = \lg(ab)$):

$\lg \sqrt{xy} = \lg 10 + \lg 3$

$\lg \sqrt{xy} = \lg (10 \cdot 3)$

$\lg \sqrt{xy} = \lg 30$

$\sqrt{xy} = 30$

Возведем обе части в квадрат: $xy = 900$.

Получили новую систему:

$ \begin{cases} 2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\ xy = 900; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\sqrt{y} = 2\sqrt{x} - 4$. Так как $\sqrt{y} \ge 0$, то $2\sqrt{x} - 4 \ge 0$, откуда $\sqrt{x} \ge 2$ и $x \ge 4$.

Возведем в квадрат: $y = (2\sqrt{x} - 4)^2 = 4x - 16\sqrt{x} + 16$.

Подставим это во второе уравнение $xy=900$:

$x(4x - 16\sqrt{x} + 16) = 900$

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, тогда $x=t^2$. Условие $x \ge 4$ превращается в $t \ge 2$.

$t^2(4t^2 - 16t + 16) = 900$

$4t^4 - 16t^3 + 16t^2 - 900 = 0$

Разделим на 4: $t^4 - 4t^3 + 4t^2 - 225 = 0$

$(t^2 - 2t)^2 - 225 = 0$

$(t^2 - 2t - 15)(t^2 - 2t + 15) = 0$

Рассмотрим уравнение $t^2 - 2t + 15 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56 < 0$, действительных корней нет.

Рассмотрим уравнение $t^2 - 2t - 15 = 0$. Корни по теореме Виета: $t_1 = 5, t_2 = -3$.

Так как $t = \sqrt{x}$, то $t \ge 0$. Корень $t_2 = -3$ не подходит. Остается $t=5$, что удовлетворяет условию $t \ge 2$.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x} = 5 \implies x = 25$.

Найдем $y$ из уравнения $xy=900$:

$y = \frac{900}{25} = 36$.

Решение $(25; 36)$ удовлетворяет ОДЗ ($25 > 0, 36 > 0$).

Проверка:

$3^{2\sqrt{25} - \sqrt{36}} = 3^{2 \cdot 5 - 6} = 3^{10-6} = 3^4 = 81$

$\lg\sqrt{25 \cdot 36} = \lg\sqrt{900} = \lg 30$. Также $1 + \lg 3 = \lg 10 + \lg 3 = \lg 30$.

Оба уравнения верны.

Ответ: $(25; 36)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_9 x - \log_3 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$\log_{3^2} x - \log_3 y = 0$

$\frac{1}{2}\log_3 x - \log_3 y = 0$

$\log_3 \sqrt{x} = \log_3 y$

$\sqrt{x} = y \implies x = y^2$.

Подставим $x = y^2$ во второе уравнение:

$(y^2)^2 - 5y^2 + 4 = 0$

$y^4 - 5y^2 + 4 = 0$

Сделаем замену $z = y^2$. Условие $z > 0$.

$z^2 - 5z + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $z_1 = 1, z_2 = 4$. Оба корня положительны.

Рассмотрим оба случая:

1) $z = 1 \implies y^2 = 1$. Так как $y > 0$, то $y = 1$. Тогда $x = y^2 = 1^2 = 1$. Получили решение $(1; 1)$.

2) $z = 4 \implies y^2 = 4$. Так как $y > 0$, то $y = 2$. Тогда $x = y^2 = 2^2 = 4$. Получили решение $(4; 2)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Проверим решение $(1; 1)$:

$\log_9 1 - \log_3 1 = 0 - 0 = 0$

$1^2 - 5 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$

Верно.

Проверим решение $(4; 2)$:

$\log_9 4 - \log_3 2 = \log_{3^2} 2^2 - \log_3 2 = \frac{2}{2}\log_3 2 - \log_3 2 = \log_3 2 - \log_3 2 = 0$

$4^2 - 5 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 5 \cdot 4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$

Верно.

Ответ: $(1; 1), (4; 2)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2 \log_2 x - 3^y = 15, \\ 3^y \log_2 x = 2 \log_2 x + 3^{y+1}; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = 3^y$. Так как $y$ может быть любым действительным числом, $b = 3^y > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a - b = 15, \\ b \cdot a = 2a + 3b; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 2a - 15$.

Так как $b > 0$, то $2a - 15 > 0$, откуда $a > 7.5$.

Подставим $b = 2a - 15$ во второе уравнение:

$(2a - 15)a = 2a + 3(2a - 15)$

$2a^2 - 15a = 2a + 6a - 45$

$2a^2 - 15a = 8a - 45$

$2a^2 - 23a + 45 = 0$

Решим квадратное уравнение для $a$:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 45 = 529 - 360 = 169 = 13^2$

$a_1 = \frac{23 + 13}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$a_2 = \frac{23 - 13}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Проверим корни по условию $a > 7.5$.

$a_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 7.5$.

$a_2 = 2.5$ не удовлетворяет условию $2.5 > 7.5$, поэтому это посторонний корень.

Итак, $a = 9$.

Найдем $b$: $b = 2a - 15 = 2 \cdot 9 - 15 = 18 - 15 = 3$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = \log_2 x = 9 \implies x = 2^9 = 512$.

$b = 3^y = 3 \implies 3^y = 3^1 \implies y = 1$.

Получили решение $(512; 1)$. Оно удовлетворяет ОДЗ ($512 > 0$).

Проверка:

$2\log_2 512 - 3^1 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15$

$3^1 \log_2 512 = 3 \cdot 9 = 27$. И $2\log_2 512 + 3^{1+1} = 2 \cdot 9 + 3^2 = 18 + 9 = 27$.

Оба уравнения верны.

Ответ: $(512; 1)$.