Номер 189, страница 302 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 189, страница 302.

Условие.

Решите системы уравнений (189, 190).

189. a) $\begin{cases} \sin x \cos y = 0,25, \\ \sin y \cos x = 0,75; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2 (\pi x) - \cos^2 (\pi y) = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4 \sin x \sin y = 3, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y, \\ \cos^2 x = \sin x \sin y. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin x \cos y = 0,25 \\ \sin y \cos x = 0,75 \end{cases} $
Для решения системы воспользуемся формулами синуса суммы и разности.
Сложим два уравнения системы:
$\sin x \cos y + \cos x \sin y = 0,25 + 0,75$
Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:
$\sin(x + y) = 1$
Отсюда следует, что $x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$\sin x \cos y - \cos x \sin y = 0,25 - 0,75$
Применяя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:
$\sin(x - y) = -0,5$
Это уравнение имеет две серии решений:
1) $x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $x - y = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь мы имеем две системы линейных уравнений относительно $x$ и $y$.
Случай 1:
$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2\pi(n+k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi(n+k)$.
Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) + 2\pi(n-k) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = \frac{\pi}{3} + \pi(n-k)$.
Случай 2:
$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x - y = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = (\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{6}) + 2\pi(n+k) = \frac{5\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi(n+k)$.
Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = (\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}) + 2\pi(n-k) = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k)$.
Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi(n+k), \frac{\pi}{3} + \pi(n-k)); (\frac{5\pi}{6} + \pi(n+k), -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k))$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2(\pi x) - \cos^2(\pi y) = 0 \end{cases} $
Рассмотрим второе уравнение. Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$:
$\frac{1+\cos(2\pi x)}{2} - \frac{1+\cos(2\pi y)}{2} = 0$
$\cos(2\pi x) - \cos(2\pi y) = 0$
$\cos(2\pi x) = \cos(2\pi y)$
Равенство косинусов выполняется, если их аргументы равны или противоположны с точностью до периода $2\pi k$:
$2\pi x = 2\pi y + 2\pi k$ или $2\pi x = -2\pi y + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив на $2\pi$, получаем:
$x = y + k$ или $x = -y + k$.
Подставим эти соотношения в первое уравнение системы $x - y = -\frac{1}{3}$.
Случай 1: $x = y + k$
$(y + k) - y = -\frac{1}{3} \implies k = -\frac{1}{3}$. Это невозможно, так как $k$ должно быть целым числом. Решений в этом случае нет.
Случай 2: $x = -y + k$
$(-y + k) - y = -\frac{1}{3}$
$-2y + k = -\frac{1}{3}$
$2y = k + \frac{1}{3} \implies y = \frac{k}{2} + \frac{1}{6}$.
Теперь найдем $x$:
$x = -y + k = -(\frac{k}{2} + \frac{1}{6}) + k = -\frac{k}{2} - \frac{1}{6} + k = \frac{k}{2} - \frac{1}{6}$.
Таким образом, решение имеет вид $( \frac{k}{2} - \frac{1}{6}, \frac{k}{2} + \frac{1}{6} )$ для любого целого $k$.
Это решение можно разделить на два семейства в зависимости от четности $k$.
- Если $k=2m$ (четное), то $x = m - \frac{1}{6}$, $y = m + \frac{1}{6}$.
- Если $k=2m+1$ (нечетное), то $x = \frac{2m+1}{2} - \frac{1}{6} = m + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = m + \frac{1}{3}$, $y = \frac{2m+1}{2} + \frac{1}{6} = m + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = m + \frac{2}{3}$.
Ответ: $( \frac{k}{2} - \frac{1}{6}, \frac{k}{2} + \frac{1}{6} )$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4 \sin x \sin y = 3 \\ \text{tg } x \text{ tg } y = 3 \end{cases} $
Область допустимых значений: $\cos x \ne 0, \cos y \ne 0$.
Из первого уравнения: $\sin x \sin y = \frac{3}{4}$.
Преобразуем второе уравнение: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = 3 \implies \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 3$.
Подставим в него значение $\sin x \sin y$ из первого уравнения:
$\frac{3/4}{\cos x \cos y} = 3 \implies \cos x \cos y = \frac{1}{4}$.
Теперь мы имеем новую, более простую систему:
$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4} \end{cases} $
Используем формулы косинуса суммы и разности.
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.
Отсюда $x - y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, что равносильно $x = y + 2\pi k$.
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Отсюда $x+y = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $x = y + 2\pi k$, то $\text{tg } x = \text{tg}(y + 2\pi k) = \text{tg } y$.
Подставляя это во второе исходное уравнение, получаем $\text{tg}^2 x = 3$, откуда $\text{tg } x = \pm\sqrt{3}$.
Случай 1: $\text{tg } x = \sqrt{3}$
Тогда $x = \frac{\pi}{3} + \pi m$ для $m \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{tg } y = \text{tg } x$, то $y = \frac{\pi}{3} + \pi p$ для $p \in \mathbb{Z}$.
Условие $x - y = 2\pi k$ дает $(\frac{\pi}{3} + \pi m) - (\frac{\pi}{3} + \pi p) = \pi(m-p) = 2\pi k \implies m-p=2k$. Это значит, что $m$ и $p$ должны иметь одинаковую четность.
Случай 2: $\text{tg } x = -\sqrt{3}$
Тогда $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m$ для $m \in \mathbb{Z}$. Аналогично $y = -\frac{\pi}{3} + \pi p$ для $p \in \mathbb{Z}$.
Условие $x - y = 2\pi k$ также приводит к тому, что $m$ и $p$ должны иметь одинаковую четность.
Объединим решения. Пары $(m,p)$ с одинаковой четностью можно представить как $m=n+k_1, p=n-k_1$ или через зависимость:
$y = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n$, тогда $x = y + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + \pi(n+2k)$.
Ответ: $(\pm\frac{\pi}{3} + \pi(n+2k), \pm\frac{\pi}{3} + \pi n)$, где знаки в обеих частях пары одинаковы, $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y \\ \cos^2 x = \sin x \sin y \end{cases} $
Сложим оба уравнения системы:
$\sin^2 x + \cos^2 x = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$1 = \cos(x-y)$
Отсюда следует, что $x - y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Из этого соотношения следует, что $x = y + 2\pi k$, а значит $\cos x = \cos y$ и $\sin x = \sin y$.
Подставим $\cos y = \cos x$ в первое уравнение исходной системы:
$\sin^2 x = \cos x \cdot \cos x$
$\sin^2 x = \cos^2 x$
Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $\cos^2 x$:
$\text{tg}^2 x = 1$
Отсюда $\text{tg } x = 1$ или $\text{tg } x = -1$.
Случай 1: $\text{tg } x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\sin x = \sin y$ и $\cos x = \cos y$, то $\text{tg } x = \text{tg } y$.
Значит, $y = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Подставим эти решения в условие $x - y = 2\pi k$:
$(\frac{\pi}{4} + \pi n) - (\frac{\pi}{4} + \pi m) = 2\pi k \implies \pi(n-m) = 2\pi k \implies n-m = 2k$.
Это означает, что целые числа $n$ и $m$ должны иметь одинаковую четность.
Случай 2: $\text{tg } x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Аналогично, $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Условие $x-y=2\pi k$ снова приводит к тому, что $n$ и $m$ должны иметь одинаковую четность.
Решения можно записать в компактном виде. Из $\text{tg } y = \pm 1$ следует $y = \pm\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Тогда $x = y + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{4} + \pi n + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{4} + \pi(n+2k)$.
Ответ: $(\pm\frac{\pi}{4} + \pi(n+2k), \pm\frac{\pi}{4} + \pi n)$, где знаки в обеих частях пары одинаковы, $n, k \in \mathbb{Z}$.