Номер 188, страница 302 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 188, страница 302.

Условие.

188. а) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 26, \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 3 \frac{3}{4}, \\ xy = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -3, \\ xy = 8. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 26 \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 6 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Поскольку корень четной степени извлекается из неотрицательного числа, то $x \ge 0, y \ge 0$, а значит $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = u^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = v^2$.

Система уравнений в новых переменных примет вид:

$\begin{cases} u^2 + v^2 = 26 \\ u + v = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 6 - u$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$u^2 + (6 - u)^2 = 26$

$u^2 + 36 - 12u + u^2 = 26$

$2u^2 - 12u + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$u^2 - 6u + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $u_1 = 1$ и $u_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $u \ge 0$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $u = 1$, то $v = 6 - 1 = 5$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x} = 1 \implies x = 1^4 = 1$

$\sqrt[4]{y} = 5 \implies y = 5^4 = 625$

Получаем пару чисел $(1, 625)$.

2. Если $u = 5$, то $v = 6 - 5 = 1$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x} = 5 \implies x = 5^4 = 625$

$\sqrt[4]{y} = 1 \implies y = 1^4 = 1$

Получаем пару чисел $(625, 1)$.

Ответ: $(1, 625), (625, 1)$.

б)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 3\frac{3}{4} \\ xy = 1 \end{cases}$

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.

Из второго уравнения (при $x \ne 0$) выразим $y$: $y = \frac{1}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{\frac{1}{x}} = \frac{15}{4}$

$\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{15}{4}$

Введем замену $t = \sqrt[3]{x}$. Уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$

Умножим обе части на $4t$ (при $t \ne 0$):

$4t^2 - 4 = 15t$

$4t^2 - 15t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

Рассмотрим два случая:

1. Если $t = 4$, то $\sqrt[3]{x} = 4$, откуда $x = 4^3 = 64$. Тогда $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{64}$. Получаем решение $(64, \frac{1}{64})$.

2. Если $t = -\frac{1}{4}$, то $\sqrt[3]{x} = -\frac{1}{4}$, откуда $x = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$. Тогда $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{-1/64} = -64$. Получаем решение $(-\frac{1}{64}, -64)$.

Ответ: $(64, \frac{1}{64}), (-\frac{1}{64}, -64)$.

в)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Так как $x \ge 0, y \ge 0$, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = u^2$ и $\sqrt{y} = v^2$.

Система примет вид:

$\begin{cases} u^2 - v^2 = 5 \\ u - v = 1 \end{cases}$

Используем формулу разности квадратов для первого уравнения: $(u - v)(u + v) = 5$.

Подставим $u - v = 1$ из второго уравнения в первое:

$1 \cdot (u + v) = 5 \implies u + v = 5$.

Получаем новую, более простую систему:

$\begin{cases} u + v = 5 \\ u - v = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(u + v) + (u - v) = 5 + 1$, что дает $2u = 6$, откуда $u = 3$.

Подставим $u = 3$ в первое уравнение новой системы: $3 + v = 5$, откуда $v = 2$.

Оба значения $u=3$ и $v=2$ неотрицательны, что соответствует условиям замены.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x} = 3 \implies x = 3^4 = 81$

$\sqrt[4]{y} = 2 \implies y = 2^4 = 16$

Проверка: $\sqrt{81} - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5$; $\sqrt[4]{81} - \sqrt[4]{16} = 3 - 2 = 1$. Решение верно.

Ответ: $(81, 16)$.

г)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -3 \\ xy = 8 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[3]{y}$.

Возведем второе уравнение в степень $\frac{1}{3}$: $(xy)^{1/3} = 8^{1/3}$, что равносильно $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{8}$, или $uv = 2$.

Система в новых переменных примет вид:

$\begin{cases} u + v = -3 \\ uv = 2 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$.

Подставим значения суммы и произведения:

$t^2 - (-3)t + 2 = 0$

$t^2 + 3t + 2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Следовательно, у нас есть две пары решений для $(u, v)$: $(-1, -2)$ и $(-2, -1)$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $u = -1$ и $v = -2$.

$\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$

$\sqrt[3]{y} = -2 \implies y = (-2)^3 = -8$

Получаем решение $(-1, -8)$.

2. Если $u = -2$ и $v = -1$.

$\sqrt[3]{x} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$

$\sqrt[3]{y} = -1 \implies y = (-1)^3 = -1$

Получаем решение $(-8, -1)$.

Ответ: $(-1, -8), (-8, -1)$.