Номер 181, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 181, страница 301.

Условие.

181. а) $\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6}, \\ x + y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^3 - y^3 = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{y}{x} = 2, \\ (x - 1)^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 35, \\ x + y = 5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6} \\ x + y = 5 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{13}{6}$

$6(x^2 + y^2) = 13xy$

Из второго уравнения системы $x + y = 5$. Возведем обе части в квадрат:

$(x + y)^2 = 5^2$

$x^2 + 2xy + y^2 = 25$

Отсюда выразим $x^2 + y^2 = 25 - 2xy$.

Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение:

$6(25 - 2xy) = 13xy$

$150 - 12xy = 13xy$

$150 = 25xy$

$xy = 6$

Теперь решаем новую, более простую систему:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Находим корни: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x^3 - y^3 = 7 \end{cases}$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 7$

Подставим $x - y = 1$ из первого уравнения:

$1 \cdot (x^2 + xy + y^2) = 7$

$x^2 + xy + y^2 = 7$

Из первого уравнения $x - y = 1$ также следует, что $(x-y)^2 = 1^2$, то есть $x^2 - 2xy + y^2 = 1$.

Преобразуем выражение $x^2 + xy + y^2$, выделив полный квадрат разности:

$(x^2 - 2xy + y^2) + 3xy = 7$

Подставим $x^2 - 2xy + y^2 = 1$:

$1 + 3xy = 7$

$3xy = 6$

$xy = 2$

Решаем систему:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выражаем $x = y + 1$ и подставляем во второе:

$(y + 1)y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета: $y_1 = 1, y_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(2, 1), (-1, -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{x} = 2 \\ (x - 1)^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0$.

Из первого уравнения выражаем $y$: $y = 2x$.

Подставляем это выражение во второе уравнение:

$(x - 1)^2 + (2x)^2 = 1$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$x^2 - 2x + 1 + 4x^2 = 1$

$5x^2 - 2x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(5x - 2) = 0$

Получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $x_2 = \frac{2}{5}$.

Так как $x \neq 0$, корень $x_1 = 0$ является посторонним.

Остается $x = \frac{2}{5}$.

Находим соответствующее значение $y$: $y = 2x = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ для первого уравнения:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 35$

Подставляем $x + y = 5$ из второго уравнения:

$5(x^2 - xy + y^2) = 35$

$x^2 - xy + y^2 = 7$

Из второго уравнения $x + y = 5$ следует, что $(x+y)^2 = 5^2$, то есть $x^2 + 2xy + y^2 = 25$. Отсюда $x^2 + y^2 = 25 - 2xy$.

Подставим это в преобразованное первое уравнение:

$(25 - 2xy) - xy = 7$

$25 - 3xy = 7$

$18 = 3xy$

$xy = 6$

Теперь решаем систему:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Эта система идентична системе из пункта а). Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.