Номер 174, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 174, страница 300.

Условие.

174. a) $x^{\log_2 x-2} = 8;$

Б) $x^{\log_5 x} = 125x^2;$

В) $x^{\lg x} = 10 000;$

Г) $x^{\log_3 x-3} = \frac{1}{9}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим уравнение $x^{\log_2 x - 2} = 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(x^{\log_2 x - 2}) = \log_2(8)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:

$(\log_2 x - 2) \cdot \log_2 x = \log_2(2^3)$

$(\log_2 x - 2) \cdot \log_2 x = 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t(t - 2) = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Следовательно, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1) Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$, откуда $x_1 = 2^3 = 8$.

2) Если $t = -1$, то $\log_2 x = -1$, откуда $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Оба корня ($8$ и $\frac{1}{2}$) принадлежат ОДЗ ($x > 0$), следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: $8; \frac{1}{2}$.

б) Решим уравнение $x^{\log_5 x} = 125x^2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x}) = \log_5(125x^2)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получим:

$(\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = \log_5(125) + \log_5(x^2)$

$(\log_5 x)^2 = \log_5(5^3) + 2\log_5 x$

$(\log_5 x)^2 = 3 + 2\log_5 x$

Введем замену $t = \log_5 x$:

$t^2 = 3 + 2t$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (аналогично пункту а)): $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 3$, то $\log_5 x = 3$, откуда $x_1 = 5^3 = 125$.

2) Если $t = -1$, то $\log_5 x = -1$, откуда $x_2 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($125$ и $\frac{1}{5}$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $125; \frac{1}{5}$.

в) Решим уравнение $x^{\lg x} = 10000$.

Здесь $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$. ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(10000)$

Применяя свойство логарифма степени:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg(10^4)$

$(\lg x)^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $\lg x$:

1) $\lg x = 2$, откуда $x_1 = 10^2 = 100$.

2) $\lg x = -2$, откуда $x_2 = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01$.

Оба корня ($100$ и $0.01$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $100; 0.01$.

г) Решим уравнение $x^{\log_3 x - 3} = \frac{1}{9}$.

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(x^{\log_3 x - 3}) = \log_3\left(\frac{1}{9}\right)$

Используя свойство логарифма степени:

$(\log_3 x - 3) \cdot \log_3 x = \log_3(3^{-2})$

$(\log_3 x - 3) \cdot \log_3 x = -2$

Введем замену $t = \log_3 x$:

$t(t-3) = -2$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x_1 = 3^1 = 3$.

2) Если $t=2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x_2 = 3^2 = 9$.

Оба корня ($3$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $3; 9$.