Номер 179, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 179, страница 300.

Условие.

179. a) $\log_2 (4^x - 5 \cdot 2^x + 8) > 2$;

Б) $\lg^2 x \ge \lg x + 2$;

б) $\log_{0.5}^2 x + 6 \ge 5 \log_{0.5} x$;

г) $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1} - 36^x) \ge -2$.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Решим логарифмическое неравенство $\log_2(4^x - 5 \cdot 2^x + 8) > 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 8 > 0$

Сделаем замену переменной $t = 2^x$. Поскольку $2^x$ всегда положительно, то $t > 0$. Неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 8 > 0$

Это квадратичная функция относительно $t$. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола $y = t^2 - 5t + 8$ полностью находится выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $t^2 - 5t + 8$ положительно при любых значениях $t$. Следовательно, ОДЗ для $x$ - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства при потенцировании сохраняется:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 8 > 2^2$

$4^x - 5 \cdot 2^x + 8 > 4$

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 > 0$

Снова используем замену $t = 2^x$ ($t > 0$):

$t^2 - 5t + 4 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t < 1$ или $t > 4$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $t < 1 \implies 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0$.

2) $t > 4 \implies 2^x > 4 \implies 2^x > 2^2 \implies x > 2$.

Объединяем полученные решения. ОДЗ не накладывает дополнительных ограничений.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\log_{0.5}^2 x + 6 \ge 5 \log_{0.5} x$.

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем все члены в левую часть и сделаем замену $t = \log_{0.5} x$:

$t^2 - 5t + 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $t \le 2$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_{0.5} x \le 2$. Так как основание логарифма $0.5 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge (0.5)^2 \implies x \ge \frac{1}{4}$.

2) $\log_{0.5} x \ge 3$. Снова меняем знак неравенства:

$x \le (0.5)^3 \implies x \le \frac{1}{8}$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два интервала: $x \ge \frac{1}{4}$ и $0 < x \le \frac{1}{8}$.

Объединяем эти решения.

Ответ: $(0; \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{4}; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\lg^2 x \ge \lg x + 2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену $t = \lg x$ (десятичный логарифм):

$t^2 \ge t + 2$

$t^2 - t - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$. Корни $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$, то есть $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $t \le -1$ или $t \ge 2$.

Выполним обратную замену:

1) $\lg x \le -1$. Основание логарифма $10 > 1$, знак не меняется:

$x \le 10^{-1} \implies x \le 0.1$.

2) $\lg x \ge 2$. Знак не меняется:

$x \ge 10^2 \implies x \ge 100$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x \le 0.1$ и $x \ge 100$.

Ответ: $(0; 0.1] \cup [100; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} - 36^x) \ge -2$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:

$6^{x+1} - 36^x > 0$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 > 0$

Сделаем замену $y = 6^x$, где $y > 0$:

$6y - y^2 > 0 \implies y(6 - y) > 0$.

Так как $y > 0$, это неравенство равносильно $6 - y > 0$, то есть $y < 6$.

Получаем $0 < y < 6$. Возвращаемся к $x$: $0 < 6^x < 6^1$. Так как основание $6 > 1$, получаем $x < 1$. ОДЗ: $x \in (-\infty; 1)$.

Теперь решаем само неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{\sqrt{5}} < 1$, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$6^{x+1} - 36^x \le \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le (\frac{1}{5^{1/2}})^{-2}$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le (5^{-1/2})^{-2}$

$6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le 5$

Снова делаем замену $y = 6^x$:

$6y - y^2 \le 5 \implies y^2 - 6y + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 6y + 5 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 1$, $y_2 = 5$.

Парабола ветвями вверх, решение неравенства: $y \le 1$ или $y \ge 5$.

Возвращаемся к $x$:

1) $y \le 1 \implies 6^x \le 1 \implies 6^x \le 6^0 \implies x \le 0$.

2) $y \ge 5 \implies 6^x \ge 5 \implies x \ge \log_6 5$.

Теперь пересечем полученные решения с ОДЗ ($x < 1$).

1) Интервал $x \le 0$ полностью входит в ОДЗ.

2) Для $x \ge \log_6 5$, заметим, что $\log_6 5 < \log_6 6 = 1$. Таким образом, пересечение с ОДЗ дает интервал $[\log_6 5; 1)$.

Объединяем оба случая.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [\log_6 5; 1)$.