Номер 185, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 185, страница 301.

Условие.

185. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 2x > 3 - \frac{13x-2}{11}, \\ \frac{x}{6} + \frac{2}{3}(x-7) < \frac{3x-20}{9}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - \frac{x+1}{2} - \frac{x+4}{3} \le \frac{x-1}{4} - 2, \\ 1,5x - 2,5 < x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x}{3} \ge \frac{x-1}{4} - x - 2, \\ 0,5x < 2 - x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2(3x-1) < 3(4x+1)+16, \\ 4(2+x) < 3x+8. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x > 3 - \frac{13x-2}{11} \\ \frac{x}{6} + \frac{2}{3}(x-7) < \frac{3x-20}{9} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2x > 3 - \frac{13x-2}{11}$

Умножим обе части неравенства на 11, чтобы избавиться от знаменателя:

$11 \cdot 2x > 11 \cdot 3 - 11 \cdot \frac{13x-2}{11}$

$22x > 33 - (13x-2)$

$22x > 33 - 13x + 2$

$22x > 35 - 13x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой:

$22x + 13x > 35$

$35x > 35$

Разделим обе части на 35:

$x > 1$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{6} + \frac{2}{3}(x-7) < \frac{3x-20}{9}$

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{x}{6} + \frac{2x-14}{3} < \frac{3x-20}{9}$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, который равен 18:

$18 \cdot \frac{x}{6} + 18 \cdot \frac{2x-14}{3} < 18 \cdot \frac{3x-20}{9}$

$3x + 6(2x-14) < 2(3x-20)$

$3x + 12x - 84 < 6x - 40$

$15x - 84 < 6x - 40$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$15x - 6x < -40 + 84$

$9x < 44$

$x < \frac{44}{9}$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Решением системы является интервал, удовлетворяющий условиям $x > 1$ и $x < \frac{44}{9}$.

Таким образом, $1 < x < \frac{44}{9}$.

Ответ: $x \in (1; \frac{44}{9})$

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x - \frac{x+1}{2} - \frac{x+4}{3} \le \frac{x-1}{4} - 2 \\ 1,5x - 2,5 < x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$x - \frac{x+1}{2} - \frac{x+4}{3} \le \frac{x-1}{4} - 2$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 12:

$12x - 12 \cdot \frac{x+1}{2} - 12 \cdot \frac{x+4}{3} \le 12 \cdot \frac{x-1}{4} - 12 \cdot 2$

$12x - 6(x+1) - 4(x+4) \le 3(x-1) - 24$

$12x - 6x - 6 - 4x - 16 \le 3x - 3 - 24$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$2x - 22 \le 3x - 27$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$-22 + 27 \le 3x - 2x$

$5 \le x$

2. Решим второе неравенство:

$1,5x - 2,5 < x$

$1,5x - x < 2,5$

$0,5x < 2,5$

Разделим обе части на 0,5:

$x < 5$

3. Найдем пересечение решений: $x \ge 5$ и $x < 5$.

Не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно 5 и строго меньше 5. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x}{3} > \frac{x-1}{4} - x - 2 \\ 0,5x < 2 - x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x+1}{2} - \frac{x}{3} > \frac{x-1}{4} - x - 2$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{x+1}{2} - 12 \cdot \frac{x}{3} > 12 \cdot \frac{x-1}{4} - 12x - 12 \cdot 2$

$6(x+1) - 4x > 3(x-1) - 12x - 24$

$6x + 6 - 4x > 3x - 3 - 12x - 24$

$2x + 6 > -9x - 27$

$2x + 9x > -27 - 6$

$11x > -33$

$x > -3$

2. Решим второе неравенство:

$0,5x < 2 - x$

$0,5x + x < 2$

$1,5x < 2$

$x < \frac{2}{1,5}$

$x < \frac{2}{3/2}$

$x < \frac{4}{3}$

3. Найдем пересечение решений: $x > -3$ и $x < \frac{4}{3}$.

Получаем двойное неравенство: $-3 < x < \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-3; \frac{4}{3})$

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(3x-1) < 3(4x+1) + 16 \\ 4(2+x) < 3x + 8 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2(3x-1) < 3(4x+1) + 16$

Раскроем скобки:

$6x - 2 < 12x + 3 + 16$

$6x - 2 < 12x + 19$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$-2 - 19 < 12x - 6x$

$-21 < 6x$

$\frac{-21}{6} < x$

$-\frac{7}{2} < x$

2. Решим второе неравенство:

$4(2+x) < 3x + 8$

$8 + 4x < 3x + 8$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$4x - 3x < 8 - 8$

$x < 0$

3. Найдем пересечение решений: $x > -\frac{7}{2}$ и $x < 0$.

Получаем двойное неравенство: $-\frac{7}{2} < x < 0$.

Ответ: $x \in (-\frac{7}{2}; 0)$