Номер 182, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 182, страница 301.

Условие.

182. a) $\begin{cases} (x - y) (x^2 - y^2) = 45, \\ x + y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 y^3 + x^3 y^2 = 12, \\ x^2 y^3 - x^3 y^2 = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 y^3 = 16, \\ x^3 y^2 = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - xy = 28, \\ y^2 - xy = -12. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x - y)(x^2 - y^2) = 45 \\ x + y = 5 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - y)(x - y)(x + y) = 45$
$(x - y)^2 (x + y) = 45$
Из второго уравнения системы известно, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$(x - y)^2 \cdot 5 = 45$
Разделим обе части уравнения на 5:
$(x - y)^2 = 9$
Из этого уравнения следует, что $x-y$ может быть равен 3 или -3. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - y = 3$.
Получаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 + 3$, что дает $2x = 8$, откуда $x = 4$.
Подставим значение $x=4$ в уравнение $x+y=5$: $4 + y = 5$, откуда $y = 1$.
Таким образом, одно из решений — $(4, 1)$.

Случай 2: $x - y = -3$.
Получаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -3 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 + (-3)$, что дает $2x = 2$, откуда $x = 1$.
Подставим значение $x=1$ в уравнение $x+y=5$: $1 + y = 5$, откуда $y = 4$.
Таким образом, второе решение — $(1, 4)$.

Ответ: $(4, 1), (1, 4)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 y^3 + x^3 y^2 = 12 \\ x^2 y^3 - x^3 y^2 = 4 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения:
$(x^2 y^3 + x^3 y^2) + (x^2 y^3 - x^3 y^2) = 12 + 4$
$2x^2 y^3 = 16$
$x^2 y^3 = 8$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 y^3 + x^3 y^2) - (x^2 y^3 - x^3 y^2) = 12 - 4$
$2x^3 y^2 = 8$
$x^3 y^2 = 4$
Теперь мы имеем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x^2 y^3 = 8 \\ x^3 y^2 = 4 \end{cases} $
Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, иначе уравнения неверны. Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{x^2 y^3}{x^3 y^2} = \frac{8}{4}$
$\frac{y}{x} = 2$, откуда $y = 2x$.
Подставим $y = 2x$ в уравнение $x^3 y^2 = 4$:
$x^3 (2x)^2 = 4$
$x^3 \cdot 4x^2 = 4$
$4x^5 = 4$
$x^5 = 1$, откуда $x=1$.
Теперь найдем $y$: $y = 2x = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $(1, 2)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 y^3 = 16 \\ x^3 y^2 = 2 \end{cases} $
Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ (и не равны нулю, так как правые части не равны нулю), из первого уравнения $x^2 y^3 = 16$ следует, что $y^3 > 0$, то есть $y>0$. Из второго уравнения $x^3 y^2 = 2$ следует, что $x^3 > 0$, то есть $x>0$.
Перемножим уравнения системы:
$(x^2 y^3)(x^3 y^2) = 16 \cdot 2$
$x^5 y^5 = 32$
$(xy)^5 = 2^5$, откуда $xy = 2$.
Теперь разделим первое уравнение на второе:
$\frac{x^2 y^3}{x^3 y^2} = \frac{16}{2}$
$\frac{y}{x} = 8$, откуда $y=8x$.
Подставим $y=8x$ в уравнение $xy=2$:
$x(8x) = 2$
$8x^2 = 2$
$x^2 = \frac{1}{4}$
Поскольку мы установили, что $x > 0$, выбираем положительный корень: $x = \frac{1}{2}$.
Найдем $y$: $y = 8x = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 4)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy = 28 \\ y^2 - xy = -12 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 28 - (-12)$
$x^2 - y^2 = 40$
Сложим оба уравнения системы:
$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 28 + (-12)$
$x^2 - 2xy + y^2 = 16$
$(x - y)^2 = 16$, откуда $x - y = 4$ или $x - y = -4$.
Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - y = 4$.
Подставим это в уравнение $x^2 - y^2 = 40$. Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-y)(x+y) = 40$.
$4(x+y) = 40$, откуда $x+y=10$.
Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 10 \end{cases} $
Сложив уравнения, находим $2x=14$, т.е. $x=7$. Подставив $x=7$ в $x+y=10$, получаем $y=3$.
Первое решение: $(7, 3)$.

Случай 2: $x - y = -4$.
Подставим это в уравнение $(x-y)(x+y) = 40$:
$-4(x+y) = 40$, откуда $x+y=-10$.
Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = -10 \end{cases} $
Сложив уравнения, находим $2x=-14$, т.е. $x=-7$. Подставив $x=-7$ в $x+y=-10$, получаем $y=-3$.
Второе решение: $(-7, -3)$.

Ответ: $(7, 3), (-7, -3)$.