Страница 302 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Решите системы уравнений (186–188).

186. а)

б)

в)

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ 2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 18 \end{cases} $$ Для решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как значения под корнем не могут быть отрицательными, и результат извлечения арифметического квадратного корня неотрицателен, то $x \ge 0, y \ge 0, a \ge 0, b \ge 0$.
Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так: $$ \begin{cases} a - b = 4 \\ 2a + 3b = 18 \end{cases} $$ Это система линейных уравнений. Выразим $a$ из первого уравнения: $a = 4 + b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(4 + b) + 3b = 18$
$8 + 2b + 3b = 18$
$5b = 18 - 8$
$5b = 10$
$b = 2$
Теперь найдем $a$:
$a = 4 + b = 4 + 2 = 6$.
Мы получили $a = 6$ и $b = 2$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условию.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$\sqrt{x} = a \Rightarrow \sqrt{x} = 6 \Rightarrow x = 6^2 = 36$
$\sqrt{y} = b \Rightarrow \sqrt{y} = 2 \Rightarrow y = 2^2 = 4$
Проверим найденное решение $(36, 4)$:
$\sqrt{36} - \sqrt{4} = 6 - 2 = 4$ (верно)
$2\sqrt{36} + 3\sqrt{4} = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 12 + 6 = 18$ (верно)
Ответ: $(36, 4)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 15 \end{cases} $$ Введем замену: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a + b = 8 \\ a \cdot b = 15 \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.
Найдем корни этого уравнения через дискриминант или подбором. Корнями являются числа 3 и 5, так как $3 + 5 = 8$ и $3 \cdot 5 = 15$.
Таким образом, у нас есть две возможные пары для $(a, b)$:
1) $a = 3$ и $b = 5$
2) $a = 5$ и $b = 3$
Рассмотрим каждый случай:
1) Если $\sqrt{x} = 3$ и $\sqrt{y} = 5$, то $x = 3^2 = 9$ и $y = 5^2 = 25$. Решение: $(9, 25)$.
2) Если $\sqrt{x} = 5$ и $\sqrt{y} = 3$, то $x = 5^2 = 25$ и $y = 3^2 = 9$. Решение: $(25, 9)$.
Оба решения подходят.
Ответ: $(9, 25), (25, 9)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3\sqrt{x} - \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 19 \end{cases} $$ Введем замену: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Система в новых переменных: $$ \begin{cases} 3a - b = 8 \\ a + 2b = 19 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b$: $b = 3a - 8$.
Подставим во второе уравнение:
$a + 2(3a - 8) = 19$
$a + 6a - 16 = 19$
$7a = 19 + 16$
$7a = 35$
$a = 5$
Теперь найдем $b$:
$b = 3a - 8 = 3 \cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7$.
Значения $a=5$ и $b=7$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.
Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{x} = a \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$
$\sqrt{y} = b \Rightarrow \sqrt{y} = 7 \Rightarrow y = 49$
Проверим найденное решение $(25, 49)$:
$3\sqrt{25} - \sqrt{49} = 3 \cdot 5 - 7 = 15 - 7 = 8$ (верно)
$\sqrt{25} + 2\sqrt{49} = 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$ (верно)
Ответ: $(25, 49)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{xy} = 12 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 7 \end{cases} $$ Из наличия в системе $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ следует, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$. При этих условиях $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.
Таким образом, систему можно переписать в виде: $$ \begin{cases} \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 12 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 7 \end{cases} $$ Введем замену: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a \cdot b = 12 \\ a + b = 7 \end{cases} $$ Эта система аналогична системе из пункта б). По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корнями уравнения являются числа 3 и 4, так как $3 + 4 = 7$ и $3 \cdot 4 = 12$.
Возможные пары для $(a, b)$:
1) $a = 3$ и $b = 4$
2) $a = 4$ и $b = 3$
Рассмотрим каждый случай:
1) Если $\sqrt{x} = 3$ и $\sqrt{y} = 4$, то $x = 9$ и $y = 16$. Решение: $(9, 16)$.
2) Если $\sqrt{x} = 4$ и $\sqrt{y} = 3$, то $x = 16$ и $y = 9$. Решение: $(16, 9)$.
Оба решения подходят.
Ответ: $(9, 16), (16, 9)$.

187. a) $\begin{cases} x \sqrt{y} + y \sqrt{x} = 30, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 7, \\ xy = 9; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6, \\ x - y = 12; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy = 64, \\ x - y + \sqrt{xy} = 20. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5; \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.
Преобразуем первое уравнение, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{xy}$:
$\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 30$.
Из второго уравнения системы нам известно, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$\sqrt{xy} \cdot 5 = 30$.
$\sqrt{xy} = 6$.
Теперь мы имеем новую, более простую систему:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt{xy} = 6. \end{cases} $
Введем новые переменные: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6. \end{cases} $
Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Решим это уравнение: $t_1 = 2, t_2 = 3$.
Таким образом, у нас есть два возможных случая:
1) $\sqrt{x} = 2$ и $\sqrt{y} = 3$. Отсюда $x = 4$ и $y = 9$.
2) $\sqrt{x} = 3$ и $\sqrt{y} = 2$. Отсюда $x = 9$ и $y = 4$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4; 9), (9; 4)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 7, \\ xy = 9. \end{cases} $
Из второго уравнения $xy=9$ следует, что $\sqrt{xy} = \sqrt{9} = 3$.
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$x + y - 3 = 7$.
$x + y = 10$.
Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} x + y = 10, \\ xy = 9. \end{cases} $
По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$.
Решим это уравнение. Корни можно легко найти: $t_1 = 1, t_2 = 9$.
Следовательно, у нас есть два решения:
1) $x = 1, y = 9$.
2) $x = 9, y = 1$.

Ответ: $(1; 9), (9; 1)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6, \\ x - y = 12. \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.
Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2$:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 12$.
Из первого уравнения системы известно, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 6$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 6 = 12$.
$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2$.
Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2. \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 6 + 2$, что дает $2\sqrt{x} = 8$, откуда $\sqrt{x} = 4$.
Следовательно, $x = 4^2 = 16$.
Подставим $\sqrt{x} = 4$ в первое уравнение новой системы: $4 + \sqrt{y} = 6$, откуда $\sqrt{y} = 2$.
Следовательно, $y = 2^2 = 4$.
Полученное решение $(16; 4)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(16; 4)$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 64, \\ x - y + \sqrt{xy} = 20. \end{cases} $
Из первого уравнения $xy=64$ следует, что $\sqrt{xy} = \sqrt{64} = 8$.
Подставим это значение во второе уравнение системы:
$x - y + 8 = 20$.
$x - y = 12$.
Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} x - y = 12, \\ xy = 64. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 12$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 12)y = 64$.
$y^2 + 12y - 64 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:
$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 = 20^2$.
$y_1 = \frac{-12 - 20}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.
$y_2 = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
1) Если $y = -16$, то $x = -16 + 12 = -4$. Получаем решение $(-4; -16)$.
2) Если $y = 4$, то $x = 4 + 12 = 16$. Получаем решение $(16; 4)$.
Оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(-4; -16), (16; 4)$.

188. а) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 26, \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 3 \frac{3}{4}, \\ xy = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 5, \\ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -3, \\ xy = 8. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 26 \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 6 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Поскольку корень четной степени извлекается из неотрицательного числа, то $x \ge 0, y \ge 0$, а значит $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = u^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = v^2$.

Система уравнений в новых переменных примет вид:

$\begin{cases} u^2 + v^2 = 26 \\ u + v = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 6 - u$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$u^2 + (6 - u)^2 = 26$

$u^2 + 36 - 12u + u^2 = 26$

$2u^2 - 12u + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$u^2 - 6u + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $u_1 = 1$ и $u_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $u \ge 0$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $u = 1$, то $v = 6 - 1 = 5$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x} = 1 \implies x = 1^4 = 1$

$\sqrt[4]{y} = 5 \implies y = 5^4 = 625$

Получаем пару чисел $(1, 625)$.

2. Если $u = 5$, то $v = 6 - 5 = 1$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x} = 5 \implies x = 5^4 = 625$

$\sqrt[4]{y} = 1 \implies y = 1^4 = 1$

Получаем пару чисел $(625, 1)$.

Ответ: $(1, 625), (625, 1)$.

б)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 3\frac{3}{4} \\ xy = 1 \end{cases}$

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.

Из второго уравнения (при $x \ne 0$) выразим $y$: $y = \frac{1}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{\frac{1}{x}} = \frac{15}{4}$

$\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{15}{4}$

Введем замену $t = \sqrt[3]{x}$. Уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$

Умножим обе части на $4t$ (при $t \ne 0$):

$4t^2 - 4 = 15t$

$4t^2 - 15t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

Рассмотрим два случая:

1. Если $t = 4$, то $\sqrt[3]{x} = 4$, откуда $x = 4^3 = 64$. Тогда $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{64}$. Получаем решение $(64, \frac{1}{64})$.

2. Если $t = -\frac{1}{4}$, то $\sqrt[3]{x} = -\frac{1}{4}$, откуда $x = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$. Тогда $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{-1/64} = -64$. Получаем решение $(-\frac{1}{64}, -64)$.

Ответ: $(64, \frac{1}{64}), (-\frac{1}{64}, -64)$.

в)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Так как $x \ge 0, y \ge 0$, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = u^2$ и $\sqrt{y} = v^2$.

Система примет вид:

$\begin{cases} u^2 - v^2 = 5 \\ u - v = 1 \end{cases}$

Используем формулу разности квадратов для первого уравнения: $(u - v)(u + v) = 5$.

Подставим $u - v = 1$ из второго уравнения в первое:

$1 \cdot (u + v) = 5 \implies u + v = 5$.

Получаем новую, более простую систему:

$\begin{cases} u + v = 5 \\ u - v = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(u + v) + (u - v) = 5 + 1$, что дает $2u = 6$, откуда $u = 3$.

Подставим $u = 3$ в первое уравнение новой системы: $3 + v = 5$, откуда $v = 2$.

Оба значения $u=3$ и $v=2$ неотрицательны, что соответствует условиям замены.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x} = 3 \implies x = 3^4 = 81$

$\sqrt[4]{y} = 2 \implies y = 2^4 = 16$

Проверка: $\sqrt{81} - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5$; $\sqrt[4]{81} - \sqrt[4]{16} = 3 - 2 = 1$. Решение верно.

Ответ: $(81, 16)$.

г)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -3 \\ xy = 8 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[3]{y}$.

Возведем второе уравнение в степень $\frac{1}{3}$: $(xy)^{1/3} = 8^{1/3}$, что равносильно $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{8}$, или $uv = 2$.

Система в новых переменных примет вид:

$\begin{cases} u + v = -3 \\ uv = 2 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$.

Подставим значения суммы и произведения:

$t^2 - (-3)t + 2 = 0$

$t^2 + 3t + 2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Следовательно, у нас есть две пары решений для $(u, v)$: $(-1, -2)$ и $(-2, -1)$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $u = -1$ и $v = -2$.

$\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$

$\sqrt[3]{y} = -2 \implies y = (-2)^3 = -8$

Получаем решение $(-1, -8)$.

2. Если $u = -2$ и $v = -1$.

$\sqrt[3]{x} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$

$\sqrt[3]{y} = -1 \implies y = (-1)^3 = -1$

Получаем решение $(-8, -1)$.

Ответ: $(-1, -8), (-8, -1)$.

Решите системы уравнений (189, 190).

189. a) $\begin{cases} \sin x \cos y = 0,25, \\ \sin y \cos x = 0,75; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2 (\pi x) - \cos^2 (\pi y) = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4 \sin x \sin y = 3, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y, \\ \cos^2 x = \sin x \sin y. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin x \cos y = 0,25 \\ \sin y \cos x = 0,75 \end{cases} $
Для решения системы воспользуемся формулами синуса суммы и разности.
Сложим два уравнения системы:
$\sin x \cos y + \cos x \sin y = 0,25 + 0,75$
Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:
$\sin(x + y) = 1$
Отсюда следует, что $x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$\sin x \cos y - \cos x \sin y = 0,25 - 0,75$
Применяя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:
$\sin(x - y) = -0,5$
Это уравнение имеет две серии решений:
1) $x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $x - y = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь мы имеем две системы линейных уравнений относительно $x$ и $y$.
Случай 1:
$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2\pi(n+k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi(n+k)$.
Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) + 2\pi(n-k) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = \frac{\pi}{3} + \pi(n-k)$.
Случай 2:
$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x - y = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = (\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{6}) + 2\pi(n+k) = \frac{5\pi}{3} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi(n+k)$.
Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = (\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}) + 2\pi(n-k) = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(n-k) \implies y = -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k)$.
Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi(n+k), \frac{\pi}{3} + \pi(n-k)); (\frac{5\pi}{6} + \pi(n+k), -\frac{\pi}{3} + \pi(n-k))$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2(\pi x) - \cos^2(\pi y) = 0 \end{cases} $
Рассмотрим второе уравнение. Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$:
$\frac{1+\cos(2\pi x)}{2} - \frac{1+\cos(2\pi y)}{2} = 0$
$\cos(2\pi x) - \cos(2\pi y) = 0$
$\cos(2\pi x) = \cos(2\pi y)$
Равенство косинусов выполняется, если их аргументы равны или противоположны с точностью до периода $2\pi k$:
$2\pi x = 2\pi y + 2\pi k$ или $2\pi x = -2\pi y + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив на $2\pi$, получаем:
$x = y + k$ или $x = -y + k$.
Подставим эти соотношения в первое уравнение системы $x - y = -\frac{1}{3}$.
Случай 1: $x = y + k$
$(y + k) - y = -\frac{1}{3} \implies k = -\frac{1}{3}$. Это невозможно, так как $k$ должно быть целым числом. Решений в этом случае нет.
Случай 2: $x = -y + k$
$(-y + k) - y = -\frac{1}{3}$
$-2y + k = -\frac{1}{3}$
$2y = k + \frac{1}{3} \implies y = \frac{k}{2} + \frac{1}{6}$.
Теперь найдем $x$:
$x = -y + k = -(\frac{k}{2} + \frac{1}{6}) + k = -\frac{k}{2} - \frac{1}{6} + k = \frac{k}{2} - \frac{1}{6}$.
Таким образом, решение имеет вид $( \frac{k}{2} - \frac{1}{6}, \frac{k}{2} + \frac{1}{6} )$ для любого целого $k$.
Это решение можно разделить на два семейства в зависимости от четности $k$.
- Если $k=2m$ (четное), то $x = m - \frac{1}{6}$, $y = m + \frac{1}{6}$.
- Если $k=2m+1$ (нечетное), то $x = \frac{2m+1}{2} - \frac{1}{6} = m + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = m + \frac{1}{3}$, $y = \frac{2m+1}{2} + \frac{1}{6} = m + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = m + \frac{2}{3}$.
Ответ: $( \frac{k}{2} - \frac{1}{6}, \frac{k}{2} + \frac{1}{6} )$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4 \sin x \sin y = 3 \\ \text{tg } x \text{ tg } y = 3 \end{cases} $
Область допустимых значений: $\cos x \ne 0, \cos y \ne 0$.
Из первого уравнения: $\sin x \sin y = \frac{3}{4}$.
Преобразуем второе уравнение: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = 3 \implies \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 3$.
Подставим в него значение $\sin x \sin y$ из первого уравнения:
$\frac{3/4}{\cos x \cos y} = 3 \implies \cos x \cos y = \frac{1}{4}$.
Теперь мы имеем новую, более простую систему:
$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{3}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4} \end{cases} $
Используем формулы косинуса суммы и разности.
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.
Отсюда $x - y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, что равносильно $x = y + 2\pi k$.
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Отсюда $x+y = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $x = y + 2\pi k$, то $\text{tg } x = \text{tg}(y + 2\pi k) = \text{tg } y$.
Подставляя это во второе исходное уравнение, получаем $\text{tg}^2 x = 3$, откуда $\text{tg } x = \pm\sqrt{3}$.
Случай 1: $\text{tg } x = \sqrt{3}$
Тогда $x = \frac{\pi}{3} + \pi m$ для $m \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{tg } y = \text{tg } x$, то $y = \frac{\pi}{3} + \pi p$ для $p \in \mathbb{Z}$.
Условие $x - y = 2\pi k$ дает $(\frac{\pi}{3} + \pi m) - (\frac{\pi}{3} + \pi p) = \pi(m-p) = 2\pi k \implies m-p=2k$. Это значит, что $m$ и $p$ должны иметь одинаковую четность.
Случай 2: $\text{tg } x = -\sqrt{3}$
Тогда $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m$ для $m \in \mathbb{Z}$. Аналогично $y = -\frac{\pi}{3} + \pi p$ для $p \in \mathbb{Z}$.
Условие $x - y = 2\pi k$ также приводит к тому, что $m$ и $p$ должны иметь одинаковую четность.
Объединим решения. Пары $(m,p)$ с одинаковой четностью можно представить как $m=n+k_1, p=n-k_1$ или через зависимость:
$y = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n$, тогда $x = y + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + \pi(n+2k)$.
Ответ: $(\pm\frac{\pi}{3} + \pi(n+2k), \pm\frac{\pi}{3} + \pi n)$, где знаки в обеих частях пары одинаковы, $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin^2 x = \cos x \cos y \\ \cos^2 x = \sin x \sin y \end{cases} $
Сложим оба уравнения системы:
$\sin^2 x + \cos^2 x = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$1 = \cos(x-y)$
Отсюда следует, что $x - y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Из этого соотношения следует, что $x = y + 2\pi k$, а значит $\cos x = \cos y$ и $\sin x = \sin y$.
Подставим $\cos y = \cos x$ в первое уравнение исходной системы:
$\sin^2 x = \cos x \cdot \cos x$
$\sin^2 x = \cos^2 x$
Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $\cos^2 x$:
$\text{tg}^2 x = 1$
Отсюда $\text{tg } x = 1$ или $\text{tg } x = -1$.
Случай 1: $\text{tg } x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\sin x = \sin y$ и $\cos x = \cos y$, то $\text{tg } x = \text{tg } y$.
Значит, $y = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Подставим эти решения в условие $x - y = 2\pi k$:
$(\frac{\pi}{4} + \pi n) - (\frac{\pi}{4} + \pi m) = 2\pi k \implies \pi(n-m) = 2\pi k \implies n-m = 2k$.
Это означает, что целые числа $n$ и $m$ должны иметь одинаковую четность.
Случай 2: $\text{tg } x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Аналогично, $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Условие $x-y=2\pi k$ снова приводит к тому, что $n$ и $m$ должны иметь одинаковую четность.
Решения можно записать в компактном виде. Из $\text{tg } y = \pm 1$ следует $y = \pm\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Тогда $x = y + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{4} + \pi n + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{4} + \pi(n+2k)$.
Ответ: $(\pm\frac{\pi}{4} + \pi(n+2k), \pm\frac{\pi}{4} + \pi n)$, где знаки в обеих частях пары одинаковы, $n, k \in \mathbb{Z}$.

190. а) $\left\{ \begin{array}{l} \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = 2, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{2}; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} x + y = \frac{5\pi}{2}, \\ \sin x + \cos 2y = -1; \end{array} \right.$

в) $\left\{ \begin{array}{l} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ \operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y = 3; \end{array} \right.$

г) $\left\{ \begin{array}{l} \cos 2y + \cos x = 1, \\ x + y = \frac{\pi}{2}. \end{array} \right.$

a)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \tg x + \tg y = 2, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Область допустимых значений: $\cos x \neq 0, \cos y \neq 0$. Второе уравнение системы гарантирует выполнение этого условия. Преобразуем первое уравнение, используя формулу суммы тангенсов: $\tg x + \tg y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$.

Подставив в это выражение второе уравнение системы, получим: $\frac{\sin(x+y)}{1/2} = 2$, откуда $\sin(x+y) = 1$.

Из $\sin(x+y) = 1$ следует, что $x+y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Теперь воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. Так как $x+y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, то $\cos(x+y) = \cos(\frac{\pi}{2} + 2k\pi) = 0$. Подставляем известные значения: $0 = \frac{1}{2} - \sin x \sin y$, откуда $\sin x \sin y = \frac{1}{2}$.

Теперь используем формулу косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. $\cos(x-y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Отсюда $x-y = 2m\pi$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Мы получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $ \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \\ x-y = 2m\pi \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi + 2m\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + (k+m)\pi$. Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $2y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi - 2m\pi \implies y = \frac{\pi}{4} + (k-m)\pi$.

Обозначим $n = k+m$ и $p = k-m$. Тогда $n-p = (k+m)-(k-m)=2m$. Так как $2m$ — четное число, то $n$ и $p$ должны иметь одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi, y = \frac{\pi}{4} + p\pi$, где $n, p \in \mathbb{Z}$ и имеют одинаковую четность.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{2}, \\ \sin x + \cos 2y = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{5\pi}{2} - y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $\sin(\frac{5\pi}{2} - y) + \cos 2y = -1$.

Используем формулу приведения: $\sin(\frac{5\pi}{2} - y) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} - y) = \sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos y$. Уравнение принимает вид: $\cos y + \cos 2y = -1$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$: $\cos y + (2\cos^2 y - 1) = -1$, $2\cos^2 y + \cos y = 0$, $\cos y (2\cos y + 1) = 0$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\cos y = 0 \implies y = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $x = \frac{5\pi}{2} - y = \frac{5\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} + k\pi) = 2\pi - k\pi$.

2) $2\cos y + 1 = 0 \implies \cos y = -\frac{1}{2}$. Отсюда $y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим оба подслучая:

2a) $y = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Тогда $x = \frac{5\pi}{2} - y = \frac{5\pi}{2} - (\frac{2\pi}{3} + 2k\pi) = \frac{15\pi - 4\pi}{6} - 2k\pi = \frac{11\pi}{6} - 2k\pi$.

2b) $y = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Тогда $x = \frac{5\pi}{2} - y = \frac{5\pi}{2} - (-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi) = \frac{15\pi + 4\pi}{6} - 2k\pi = \frac{19\pi}{6} - 2k\pi$.

Ответ: $(2\pi - k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$; $(\frac{11\pi}{6} - 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi)$; $(\frac{19\pi}{6} - 2k\pi, -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ \operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y = 3 \end{cases} $

Область допустимых значений: $\sin x \neq 0, \sin y \neq 0$. Первое уравнение гарантирует это. Преобразуем второе уравнение: $\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y} = 3$.

Подставив в него первое уравнение, получим: $\frac{\cos x \cos y}{1/4} = 3$, откуда $\cos x \cos y = \frac{3}{4}$.

Таким образом, исходная система эквивалентна системе: $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $

Используем формулы косинуса суммы и разности. $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. Отсюда $x-y = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Отсюда $x+y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Получаем две системы линейных уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 2k\pi \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 2m\pi \end{cases} \implies \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + (k+m)\pi \\ y = \frac{\pi}{6} + (m-k)\pi \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2k\pi \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi \end{cases} \implies \begin{cases} x = -\frac{\pi}{6} + (k+m)\pi \\ y = -\frac{\pi}{6} + (m-k)\pi \end{cases}$

В обоих случаях, если обозначить $n=k+m$ и $p=m-k$, то разность $n-p=2k$ будет четным числом, что означает, что $n$ и $p$ должны иметь одинаковую четность.

Ответ: $( \frac{\pi}{6} + n\pi, \frac{\pi}{6} + p\pi)$; $(-\frac{\pi}{6} + n\pi, -\frac{\pi}{6} + p\pi)$, где $n, p \in \mathbb{Z}$ и имеют одинаковую четность.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \cos 2y + \cos x = 1, \\ x + y = \frac{\pi}{2} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{2} - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $\cos(2(\frac{\pi}{2} - x)) + \cos x = 1$.

Упростим $\cos(2(\frac{\pi}{2} - x)) = \cos(\pi - 2x) = -\cos(2x)$. Уравнение принимает вид: $-\cos 2x + \cos x = 1$, $\cos 2x - \cos x + 1 = 0$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $(2\cos^2 x - 1) - \cos x + 1 = 0$, $2\cos^2 x - \cos x = 0$, $\cos x (2\cos x - 1) = 0$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $y = \frac{\pi}{2} - x = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} + k\pi) = -k\pi$.

2) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим оба подслучая:

2a) $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Тогда $y = \frac{\pi}{2} - x = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{3} + 2k\pi) = \frac{\pi}{6} - 2k\pi$.

2b) $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Тогда $y = \frac{\pi}{2} - x = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{3} + 2k\pi) = \frac{5\pi}{6} - 2k\pi$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + k\pi, -k\pi)$; $(\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{\pi}{6} - 2k\pi)$; $(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} - 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.