Номер 207, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 207, страница 305.

Условие.

207. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении. Одна машина движется со скоростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину на 1 ч 30 мин позже, чем вторую. Найдите скорость третьей машины.

Решение 1.

Решение 5.

Обозначим скорость третьей машины как $x$ км/ч. По условию, $x$ должен быть больше скоростей первой и второй машины, чтобы обгон был возможен, то есть $x > 50$.

Скорость первой машины $v_1 = 50$ км/ч.
Скорость второй машины $v_2 = 40$ км/ч.

Третья машина выехала на 0,5 часа позже первых двух.

1. Найдем время, через которое третья машина догонит вторую.
Пусть $t_2$ — время (в часах) с момента старта первых двух машин до момента, когда третья машина догонит вторую. За это время вторая машина пройдет путь $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 40t_2$ км.
Третья машина к этому моменту будет в пути $(t_2 - 0.5)$ часа и пройдет путь $S_3 = x \cdot (t_2 - 0.5)$ км.
В момент обгона их пути равны: $S_2 = S_3$.
$40t_2 = x(t_2 - 0.5)$
$40t_2 = xt_2 - 0.5x$
$xt_2 - 40t_2 = 0.5x$
$t_2(x - 40) = 0.5x$
$t_2 = \frac{0.5x}{x - 40}$

2. Найдем время, через которое третья машина догонит первую.
Пусть $t_1$ — время (в часах) с момента старта первых двух машин до момента, когда третья машина догонит первую. За это время первая машина пройдет путь $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 50t_1$ км.
Третья машина к этому моменту будет в пути $(t_1 - 0.5)$ часа и пройдет путь $S_3 = x \cdot (t_1 - 0.5)$ км.
В момент обгона их пути равны: $S_1 = S_3$.
$50t_1 = x(t_1 - 0.5)$
$50t_1 = xt_1 - 0.5x$
$xt_1 - 50t_1 = 0.5x$
$t_1(x - 50) = 0.5x$
$t_1 = \frac{0.5x}{x - 50}$

3. Составим и решим уравнение.
По условию, третья машина обогнала первую на 1 час 30 минут (то есть на 1,5 часа) позже, чем вторую. Это означает, что $t_1 = t_2 + 1.5$.
Подставим полученные выражения для $t_1$ и $t_2$:
$\frac{0.5x}{x - 50} = \frac{0.5x}{x - 40} + 1.5$
Перенесем дроби в одну сторону:
$\frac{0.5x}{x - 50} - \frac{0.5x}{x - 40} = 1.5$
Приведем к общему знаменателю $(x-50)(x-40)$:
$\frac{0.5x(x - 40) - 0.5x(x - 50)}{(x - 50)(x - 40)} = 1.5$
$\frac{0.5x^2 - 20x - 0.5x^2 + 25x}{x^2 - 40x - 50x + 2000} = 1.5$
$\frac{5x}{x^2 - 90x + 2000} = 1.5$
$5x = 1.5(x^2 - 90x + 2000)$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$10x = 3(x^2 - 90x + 2000)$
$10x = 3x^2 - 270x + 6000$
$3x^2 - 270x - 10x + 6000 = 0$
$3x^2 - 280x + 6000 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-280)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6000 = 78400 - 72000 = 6400$
$\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 + 80}{2 \cdot 3} = \frac{360}{6} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 - 80}{2 \cdot 3} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3}$
Скорость третьей машины должна быть больше скорости первой машины (50 км/ч), иначе она не сможет ее обогнать. Поэтому корень $x_2 = 33\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, скорость третьей машины равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.