Номер 222, страница 307 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 222, страница 307.
№222 (с. 307)
Условие. №222 (с. 307)
скриншот условия

222. a) $f(x) = \sin 3x + \cos 5x$;
б) $f(x) = \sqrt[4]{1+x^2} + \frac{1}{(2x-1)^3}$;
в) $f(x) = (3 - 2x^3)^5$;
г) $f(x) = \operatorname{lg} (3x) - 3 \operatorname{tg} \left(2x - \frac{\pi}{4}\right).$
Решение 1. №222 (с. 307)

Решение 3. №222 (с. 307)

Решение 5. №222 (с. 307)
Для нахождения производных данных функций будем использовать основные правила дифференцирования, такие как производная суммы/разности, производная степенной функции, а также правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
а) $f(x) = \sin 3x + \cos 5x$
Производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (\sin 3x)' + (\cos 5x)'$.
Применим правило дифференцирования сложной функции. Для $y = \sin(u(x))$ производная равна $y' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$. Для $y = \cos(u(x))$ производная равна $y' = -\sin(u(x)) \cdot u'(x)$.
1. Находим производную первого слагаемого, $\sin 3x$. Здесь внутренняя функция $u(x) = 3x$, ее производная $u'(x) = 3$.
$(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.
2. Находим производную второго слагаемого, $\cos 5x$. Здесь внутренняя функция $u(x) = 5x$, ее производная $u'(x) = 5$.
$(\cos 5x)' = -\sin(5x) \cdot (5x)' = -\sin(5x) \cdot 5 = -5\sin(5x)$.
3. Складываем полученные результаты:
$f'(x) = 3\cos(3x) - 5\sin(5x)$.
Ответ: $f'(x) = 3\cos(3x) - 5\sin(5x)$
б) $f(x) = \sqrt[4]{1+x^2} + \frac{1}{(2x-1)^3}$
Перепишем функцию в виде со степенями для удобства дифференцирования: $f(x) = (1+x^2)^{1/4} + (2x-1)^{-3}$.
Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = ((1+x^2)^{1/4})' + ((2x-1)^{-3})'$.
Используем правило дифференцирования степенной функции для сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
1. Для первого слагаемого $u(x) = 1+x^2$, $n=1/4$. Производная внутренней функции $u'(x) = 2x$.
$((1+x^2)^{1/4})' = \frac{1}{4}(1+x^2)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{4}(1+x^2)^{-3/4} \cdot 2x = \frac{2x}{4(1+x^2)^{3/4}} = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}}$.
2. Для второго слагаемого $u(x) = 2x-1$, $n=-3$. Производная внутренней функции $u'(x) = 2$.
$((2x-1)^{-3})' = -3(2x-1)^{-3-1} \cdot (2x-1)' = -3(2x-1)^{-4} \cdot 2 = -6(2x-1)^{-4} = -\frac{6}{(2x-1)^4}$.
3. Складываем результаты:
$f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}} - \frac{6}{(2x-1)^4}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}} - \frac{6}{(2x-1)^4}$
в) $f(x) = (3 - 2x^3)^5$
Это сложная функция вида $y=u^5$, где $u = 3 - 2x^3$.
Применяем правило дифференцирования степенной функции для сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
1. Находим производную внутренней функции: $u' = (3 - 2x^3)' = -2 \cdot 3x^2 = -6x^2$.
2. Подставляем в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = 5(3 - 2x^3)^{5-1} \cdot (3 - 2x^3)' = 5(3 - 2x^3)^4 \cdot (-6x^2)$.
3. Упрощаем выражение:
$f'(x) = -30x^2(3 - 2x^3)^4$.
Ответ: $f'(x) = -30x^2(3 - 2x^3)^4$
г) $f(x) = \lg(3x) - 3\tg(2x - \frac{\pi}{4})$
Производная разности функций равна разности их производных: $f'(x) = (\lg(3x))' - (3\tg(2x - \frac{\pi}{4}))'$.
1. Находим производную первого слагаемого, $\lg(3x)$. Производная десятичного логарифма $(\lg u)' = \frac{1}{u \ln 10} \cdot u'$. Здесь $u = 3x$, $u' = 3$.
$(\lg(3x))' = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot 3 = \frac{1}{x \ln 10}$.
2. Находим производную второго слагаемого, $3\tg(2x - \frac{\pi}{4})$. Производная тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'$. Здесь $u = 2x - \frac{\pi}{4}$, $u' = 2$.
$(3\tg(2x - \frac{\pi}{4}))' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \cdot (2x - \frac{\pi}{4})' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \cdot 2 = \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$.
3. Вычитаем вторую производную из первой:
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} - \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} - \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 222 расположенного на странице 307 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №222 (с. 307), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.