Номер 222, страница 307 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 222, страница 307.

Условие.

222. a) $f(x) = \sin 3x + \cos 5x$;

б) $f(x) = \sqrt[4]{1+x^2} + \frac{1}{(2x-1)^3}$;

в) $f(x) = (3 - 2x^3)^5$;

г) $f(x) = \operatorname{lg} (3x) - 3 \operatorname{tg} \left(2x - \frac{\pi}{4}\right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения производных данных функций будем использовать основные правила дифференцирования, такие как производная суммы/разности, производная степенной функции, а также правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

а) $f(x) = \sin 3x + \cos 5x$

Производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (\sin 3x)' + (\cos 5x)'$.

Применим правило дифференцирования сложной функции. Для $y = \sin(u(x))$ производная равна $y' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$. Для $y = \cos(u(x))$ производная равна $y' = -\sin(u(x)) \cdot u'(x)$.

1. Находим производную первого слагаемого, $\sin 3x$. Здесь внутренняя функция $u(x) = 3x$, ее производная $u'(x) = 3$.
$(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

2. Находим производную второго слагаемого, $\cos 5x$. Здесь внутренняя функция $u(x) = 5x$, ее производная $u'(x) = 5$.
$(\cos 5x)' = -\sin(5x) \cdot (5x)' = -\sin(5x) \cdot 5 = -5\sin(5x)$.

3. Складываем полученные результаты:
$f'(x) = 3\cos(3x) - 5\sin(5x)$.

Ответ: $f'(x) = 3\cos(3x) - 5\sin(5x)$

б) $f(x) = \sqrt[4]{1+x^2} + \frac{1}{(2x-1)^3}$

Перепишем функцию в виде со степенями для удобства дифференцирования: $f(x) = (1+x^2)^{1/4} + (2x-1)^{-3}$.

Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = ((1+x^2)^{1/4})' + ((2x-1)^{-3})'$.

Используем правило дифференцирования степенной функции для сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

1. Для первого слагаемого $u(x) = 1+x^2$, $n=1/4$. Производная внутренней функции $u'(x) = 2x$.
$((1+x^2)^{1/4})' = \frac{1}{4}(1+x^2)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{4}(1+x^2)^{-3/4} \cdot 2x = \frac{2x}{4(1+x^2)^{3/4}} = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}}$.

2. Для второго слагаемого $u(x) = 2x-1$, $n=-3$. Производная внутренней функции $u'(x) = 2$.
$((2x-1)^{-3})' = -3(2x-1)^{-3-1} \cdot (2x-1)' = -3(2x-1)^{-4} \cdot 2 = -6(2x-1)^{-4} = -\frac{6}{(2x-1)^4}$.

3. Складываем результаты:
$f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}} - \frac{6}{(2x-1)^4}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(1+x^2)^3}} - \frac{6}{(2x-1)^4}$

в) $f(x) = (3 - 2x^3)^5$

Это сложная функция вида $y=u^5$, где $u = 3 - 2x^3$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции для сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

1. Находим производную внутренней функции: $u' = (3 - 2x^3)' = -2 \cdot 3x^2 = -6x^2$.

2. Подставляем в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = 5(3 - 2x^3)^{5-1} \cdot (3 - 2x^3)' = 5(3 - 2x^3)^4 \cdot (-6x^2)$.

3. Упрощаем выражение:
$f'(x) = -30x^2(3 - 2x^3)^4$.

Ответ: $f'(x) = -30x^2(3 - 2x^3)^4$

г) $f(x) = \lg(3x) - 3\tg(2x - \frac{\pi}{4})$

Производная разности функций равна разности их производных: $f'(x) = (\lg(3x))' - (3\tg(2x - \frac{\pi}{4}))'$.

1. Находим производную первого слагаемого, $\lg(3x)$. Производная десятичного логарифма $(\lg u)' = \frac{1}{u \ln 10} \cdot u'$. Здесь $u = 3x$, $u' = 3$.
$(\lg(3x))' = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot 3 = \frac{1}{x \ln 10}$.

2. Находим производную второго слагаемого, $3\tg(2x - \frac{\pi}{4})$. Производная тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'$. Здесь $u = 2x - \frac{\pi}{4}$, $u' = 2$.
$(3\tg(2x - \frac{\pi}{4}))' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \cdot (2x - \frac{\pi}{4})' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \cdot 2 = \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$.

3. Вычитаем вторую производную из первой:
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} - \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} - \frac{6}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$