Номер 228, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 228, страница 308.

Условие.

228. Вычислите приближенное значение функции в точках $x_1$ и $x_2$:

a) $f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x$, $x_1 = 2,0057$, $x_2 = 1,979$;

б) $f(x)=2 + 4x - x^2 + \frac{1}{4}x^4$, $x_1 = 3,005$, $x_2 = 1,98$.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Для вычисления приближенных значений функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ в точках $x_1 = 2,0057$ и $x_2 = 1,979$ воспользуемся формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

В качестве "удобной" точки $x_0$ выберем $x_0 = 2$, так как она близка к обеим заданным точкам $x_1$ и $x_2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Теперь вычислим приближенные значения для $x_1$ и $x_2$.

Для точки $x_1 = 2,0057$:

Приращение аргумента $\Delta x_1 = x_1 - x_0 = 2,0057 - 2 = 0,0057$.

Подставляем значения в формулу:

$f(2,0057) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x_1 = \frac{2}{3} + 3 \cdot 0,0057 = \frac{2}{3} + 0,0171$.

Так как $\frac{2}{3} \approx 0,6667$, то:

$f(2,0057) \approx 0,6667 + 0,0171 = 0,6838$.

Для точки $x_2 = 1,979$:

Приращение аргумента $\Delta x_2 = x_2 - x_0 = 1,979 - 2 = -0,021$.

Подставляем значения в формулу:

$f(1,979) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x_2 = \frac{2}{3} + 3 \cdot (-0,021) = \frac{2}{3} - 0,063$.

$f(1,979) \approx 0,6667 - 0,063 = 0,6037$.

Ответ: $f(2,0057) \approx 0,6838$; $f(1,979) \approx 0,6037$.

б)

Дана функция $f(x) = 2 + 4x - x^2 + \frac{1}{4}x^4$ и точки $x_1 = 3,005$ и $x_2 = 1,98$.

Используем ту же формулу приближенного вычисления: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2 + 4x - x^2 + \frac{1}{4}x^4)' = 4 - 2x + \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = 4 - 2x + x^3$.

Поскольку точки $x_1$ и $x_2$ находятся вблизи разных целых чисел, для каждой из них выберем свою опорную точку $x_0$.

Для точки $x_1 = 3,005$:

Выберем $x_0 = 3$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 2 + 4(3) - 3^2 + \frac{1}{4}(3)^4 = 2 + 12 - 9 + \frac{81}{4} = 5 + 20,25 = 25,25$.

2. Значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 4 - 2(3) + 3^3 = 4 - 6 + 27 = 25$.

3. Приращение аргумента $\Delta x_1 = x_1 - x_0 = 3,005 - 3 = 0,005$.

4. Приближенное значение функции:

$f(3,005) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x_1 = 25,25 + 25 \cdot 0,005 = 25,25 + 0,125 = 25,375$.

Для точки $x_2 = 1,98$:

Выберем $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = 2 + 4(2) - 2^2 + \frac{1}{4}(2)^4 = 2 + 8 - 4 + \frac{16}{4} = 6 + 4 = 10$.

2. Значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = 4 - 2(2) + 2^3 = 4 - 4 + 8 = 8$.

3. Приращение аргумента $\Delta x_2 = x_2 - x_0 = 1,98 - 2 = -0,02$.

4. Приближенное значение функции:

$f(1,98) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x_2 = 10 + 8 \cdot (-0,02) = 10 - 0,16 = 9,84$.

Ответ: $f(3,005) \approx 25,375$; $f(1,98) \approx 9,84$.